Deux pas, avec ou sans connaître le départ

Ce qu'on emploie. L'égalité $V_n=V_0{M}^n$, et la lecture du coefficient $(i,j)$ de $M^n$ comme la probabilité d'aller de $i$ à $j$ en $n$ pas.

Le carré. $$M^2=\left(\begin{array}{cc}0,9& 0,1\\ 0,5& 0,5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0,9& 0,1\\ 0,5& 0,5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0,81+0,05& 0,09+0,05\\ 0,45+0,25& 0,05+0,25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0,86& 0,14\\ 0,70& 0,30\end{array}\right).$$ Chaque ligne somme encore à $1$ : $M^2$ est bien une matrice de transition, celle des déplacements en deux pas.

La probabilité conditionnelle. Partir certainement de l'état $1$, c'est prendre $V_0=(1;0)$, et alors $V_2=(1;0)M^2$ est la première ligne de $M^2$. Donc $$P([X_2=1]\mid [X_0=1])=(M^2{)}_{1,1}=0,86.$$

La probabilité non conditionnelle. $$V_2=V_0{M}^2=(0,2\times 0,86+0,8\times 0,70;0,2\times 0,14+0,8\times 0,30)=(0,732;0,268).$$ Donc $P([X_2=1])=0,732$.

La comparaison. $0,732<0,86$ : savoir que la chaîne est partie de l'état $1$ rend plus probable de l'y retrouver deux pas plus tard. La probabilité non conditionnelle est la moyenne pondérée des deux probabilités conditionnelles : $$0,2\times 0,86+0,8\times 0,70=0,732,$$ ce qui est exactement la formule des probabilités totales.