Deux pas d'un coup

Le produit. On multiplie ligne par colonne :

$$M^2=\left(\begin{array}{cc}0,7\times 0,7+0,3\times 0,2& 0,7\times 0,3+0,3\times 0,8\\ 0,2\times 0,7+0,8\times 0,2& 0,2\times 0,3+0,8\times 0,8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0,55& 0,45\\ 0,30& 0,70\end{array}\right).$$

C'est une matrice de transition. Les coefficients sont positifs, et chaque ligne somme à $1$ : $0,55+0,45=1$ et $0,30+0,70=1$.

Ce que vaut le coefficient $0,45$. Partons certainement de l'état $1$, c'est-à-dire de $V_0=(1;0)$. Alors $V_2=V_0{M}^2$ est la première ligne de $M^2$, puisque multiplier par $(1;0)$ à gauche sélectionne cette ligne. Donc $0,45$ est la probabilité d'occuper l'état $2$ au bout de deux pas quand on part de l'état $1$.

Le contrôle par les chemins. Deux chemins mènent de $1$ à $2$ en deux pas : rester puis partir, $0,7\times 0,3=0,21$ ; partir puis rester, $0,3\times 0,8=0,24$. Leur somme vaut bien $0,45$.

Le point à retenir. $M^n$ est la matrice de transition en $n$ pas : son coefficient d'indices $i$ et $j$ est $P([X_n=j])$ quand on part de $i$. C'est pourquoi $V_n=V_0{M}^n$ résume toute l'évolution.