Du texte à la matrice

La convention. Le coefficient $m_{i,j}$ est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ : c'est la ligne qui décrit le départ. La ligne $1$ concerne donc l'abonné actif, la ligne $2$ l'abonné suspendu.

La première ligne. Un abonné actif reste actif avec la probabilité $0,75$, donc $m_{1,1}=0,75$. Il n'a que deux possibilités, donc il passe suspendu avec la probabilité complémentaire : $$m_{1,2}=1-0,75=0,25.$$

La seconde ligne. Un abonné suspendu redevient actif avec la probabilité $0,4$, donc $m_{2,1}=0,4$, et il reste suspendu avec $$m_{2,2}=1-0,4=0,6.$$

La matrice. $$M=\left(\begin{array}{cc}0,75& 0,25\\ 0,4& 0,6\end{array}\right).$$

Contrôle. Les coefficients sont positifs et chaque ligne somme à $1$ : $0,75+0,25=1$ et $0,4+0,6=1$. C'est bien une matrice de transition.

L'erreur à éviter serait de placer $0,4$ en position $(1,2)$ : ce nombre décrit ce qui part de l'état suspendu, donc il appartient à la ligne $2$.