La formule générale à deux états

Ce qu'on emploie. La récurrence $V_{n+1}=V_{n}M$, puis la résolution d'une suite récurrente affine par la méthode du point fixe.

La récurrence. La première composante de $V_{n}M$ vaut $$p_{n+1}=p_n(1-a)+(1-p_n)b=p_n-a{p}_n+b-b{p}_n=(1-a-b)p_n+b.$$

Le point fixe. On cherche $\ell$ tel que $\ell =(1-a-b)\ell +b$, soit $\ell (a+b)=b$. Comme $a>0$ et $b>0$, la somme $a+b$ n'est pas nulle et $$\ell =\frac{b}{a+b}.$$

La suite auxiliaire. Posons $u_n=p_n-\ell$. En soustrayant les deux relations précédentes : $$u_{n+1}=p_{n+1}-\ell =(1-a-b)(p_n-\ell )=(1-a-b)u_n.$$ La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1-a-b$, donc $u_n=q^n{u}_0$ et $$p_n=\frac{b}{a+b}+(1-a-b{)}^n\left(p_0-\frac{b}{a+b}\right).$$

La limite. Comme $0<a<1$ et $0<b<1$, on a $0<a+b<2$, donc $$-1<1-a-b<1,\text{c’est-aˋ-dire}|q|<1.$$ Le terme géométrique tend donc vers $0$, et $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{V}_n=\left(\frac{b}{a+b};\frac{a}{a+b}\right),$$ la seconde composante s'obtenant par $1-\frac{b}{a+b}$.

Lectures. La limite ne dépend pas de $p_0$ : la chaîne oublie son point de départ. Et c'est bien l'état stable, puisqu'un passage à la limite dans $V_{n+1}=V_{n}M$ donne $VM=V$. Enfin $|q|$ mesure la vitesse : plus $a+b$ est proche de $1$, plus la convergence est rapide. L'hypothèse $a,b\in ]0,1[$ est indispensable : pour $a=b=1$ on aurait $q=-1$, et la chaîne alternerait sans converger.