La probabilité d'un chemin

Ce qu'on emploie. La règle des probabilités composées, jointe à la propriété de Markov : la loi du pas suivant ne dépend que de l'état présent. Puis la récurrence $V_n=V_{n-1}M$.

La probabilité du chemin. En décomposant pas à pas : $$P([X_0=1]\cap [X_1=2]\cap [X_2=2])=P([X_0=1])\times m_{1,2}\times m_{2,2}.$$ Le premier facteur est la première composante de $V_0$, soit $0,7$ ; le deuxième est le coefficient de la ligne $1$, colonne $2$, soit $0,4$ ; le troisième celui de la ligne $2$, colonne $2$, soit $0,8$. Donc $$P=0,7\times 0,4\times 0,8=0,224.$$

La probabilité $P([X_2=2])$. Elle ne se lit sur aucun chemin unique : il faut sommer sur tous les chemins possibles, ce que fait précisément le produit matriciel. $$V_1=V_{0}M=(0,7\times 0,6+0,3\times 0,2;0,7\times 0,4+0,3\times 0,8)=(0,48;0,52),$$ $$V_2=V_{1}M=(0,48\times 0,6+0,52\times 0,2;0,48\times 0,4+0,52\times 0,8)=(0,392;0,608).$$ Donc $P([X_2=2])=0,608$. Contrôle : $0,392+0,608=1$.

Le point délicat est le sens du produit : la matrice se place à droite du vecteur ligne. Écrire $M{V}_0$ n'aurait ici aucun sens dimensionnel, et écrire $M{}^t{V}_0$ donnerait un résultat faux dont la somme ne vaudrait généralement plus $1$.