Le produit de deux matrices de transition

Ce qu'on emploie. La définition : une matrice de transition a tous ses coefficients positifs et chacune de ses lignes somme à $1$. Puis une récurrence.

Les coefficients sont positifs. Le coefficient $(i,j)$ du produit est $$(AB{)}_{i,j}=\sum _{k=1}^r{a}_{i,k}{b}_{k,j},$$ somme de produits de nombres positifs : il est positif.

Chaque ligne somme à $1$. On somme sur $j$, puis on échange les deux sommes finies : $$\sum _{j=1}^r(AB{)}_{i,j}=\sum _{j=1}^r\sum _{k=1}^r{a}_{i,k}{b}_{k,j}=\sum _{k=1}^r{a}_{i,k}\left(\sum _{j=1}^r{b}_{k,j}\right).$$ C'est ici que tout se joue : la somme intérieure est la somme de la ligne $k$ de $B$, qui vaut $1$ puisque $B$ est une matrice de transition. Il reste $$\sum _{j=1}^r(AB{)}_{i,j}=\sum _{k=1}^r{a}_{i,k}\times 1=1,$$ la dernière somme étant celle de la ligne $i$ de $A$. Donc $AB$ est une matrice de transition.

La récurrence. Soit $M$ une matrice de transition. La propriété « $M^n$ est une matrice de transition » est vraie pour $n=1$ par hypothèse. Si elle est vraie au rang $n$, alors $M^{n+1}=M^{n}M$ est le produit de deux matrices de transition, donc en est une d'après ce qui précède. Elle est donc vraie pour tout $n⩾1$.

Ce que cela signifie. $M^n$ décrit les déplacements en $n$ pas, et son coefficient $(i,j)$ est $P([X_n=j]\mid [X_0=i])$. Le résultat dit simplement qu'en $n$ pas, depuis n'importe quel état, on va quelque part avec certitude.