Le vecteur de uns, et la valeur propre 1

Ce qu'on emploie. La définition d'une matrice de transition, la caractérisation d'une valeur propre par la non-inversibilité, et le fait qu'une matrice carrée est inversible si et seulement si sa transposée l'est.

L'égalité $MU=U$. Le $i$-ième coefficient du produit $MU$ vaut $$(MU{)}_i=\sum _{j=1}^r{m}_{i,j}\times 1=\sum _{j=1}^r{m}_{i,j}=1,$$ puisque chaque ligne de $M$ somme à $1$. Tous les coefficients de $MU$ valent donc $1$ : $MU=U$. Comme $U\ne 0$, cela signifie exactement que $1$ est valeur propre de $M$, de vecteur propre $U$.

La conséquence sur $M-I_r$. L'égalité $MU=U$ s'écrit $(M-I_r)U=0$ avec $U\ne 0$ : la matrice $M-I_r$ n'est pas inversible.

Le passage à la transposée. Une matrice carrée est inversible si et seulement si sa transposée l'est. Donc $${}^t(M-I_r)={}^{t}M-I_r$$ n'est pas inversible non plus, et il existe un vecteur colonne $W\ne 0$ tel que $({}^{t}M-I_r)W=0$, c'est-à-dire ${}^{t}MW=W$. En transposant cette égalité, le vecteur ligne $V={}^{t}W$, non nul, vérifie $$VM=V.$$

Ce qu'il reste à faire pour obtenir un état stable. Le vecteur $V$ obtenu n'est défini qu'à un facteur près, et rien ne garantit encore que la somme de ses coefficients vaille $1$. C'est la normalisation — troisième geste de la méthode du cours — qui achève le travail : on divise $V$ par la somme de ses coefficients, lorsque celle-ci n'est pas nulle.