Les deux valeurs propres d'une matrice de transition

$1$ est valeur propre. La somme de chaque ligne vaut $1$, donc $M\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ : la colonne $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ est vecteur propre pour la valeur $1$.

La seconde. Posons $\lambda =a+b-1$. Alors

$$M-\lambda I_2=\left(\begin{array}{cc}a-(a+b-1)& 1-a\\ 1-b& b-(a+b-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-b& 1-a\\ 1-b& 1-a\end{array}\right),$$

dont les deux lignes sont identiques : son rang est au plus $1$, donc strictement inférieur à $2$. Par la caractérisation sans déterminant, $\lambda =a+b-1$ est valeur propre de $M$.

Et il n'y en a pas d'autre. Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre, et ${\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ est de dimension $2$ : une matrice d'ordre $2$ a donc au plus deux valeurs propres. Ainsi $\mathrm{Sp}(M)=\{1,a+b-1\}$, les deux se confondant lorsque $a+b=2$, c'est-à-dire pour $M=I_2$.

Conséquence. La convergence a lieu si $|a+b-1|<1$, c'est-à-dire si $0<a+b<2$ — donc dès que $M$ n'est ni l'identité ($a=b=1$) ni la permutation ($a=b=0$). Ce sont exactement les deux cas pathologiques du cours.

Application. Pour $\left(\begin{array}{cc}0,8& 0,2\\ 0,3& 0,7\end{array}\right)$, $a+b-1=0,8+0,7-1=0,5$ : on retrouve la vitesse de convergence de l'exercice 7.