Mobilité entre trois catégories

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 10 — Chaînes de Markov · Modéliser par un graphe

Énoncé

Trois catégories : ouvriers ( $1$ ), employés ( $2$ ), cadres ( $3$ ). D'une génération à l'autre : d'ouvrier, on reste avec $0, 6$ ou l'on passe employé ; d'employé, on passe ouvrier avec $0, 2$ , on reste avec $0, 6$ , on passe cadre avec $0, 2$ ; de cadre, on reste avec $0, 7$ ou l'on passe employé. Écrire $M$ , et dire si $(0, 25; 0, 5; 0, 25)$ est stable.

Corrigé

La matrice. Chaque ligne décrit ce qui part d'une catégorie :

$M = 0, 6 0, 2 0 0, 4 0, 6 0, 3 0 0, 2 0, 7 .$

Les trois lignes somment à $1$ : un enfant d'ouvrier va forcément quelque part, et le modèle interdit le saut direct d'ouvrier à cadre.

Le vecteur proposé. Posons $V = (0, 25; 0, 5; 0, 25)$ et calculons $V M$ composante par composante :

$0, 25 \times 0, 6 + 0, 5 \times 0, 2 0, 25 \times 0, 4 + 0, 5 \times 0, 6 + 0, 25 \times 0, 3 0, 5 \times 0, 2 + 0, 25 \times 0, 7 = 0, 25, = 0, 475, = 0, 275.$

Donc $V M = (0, 25; 0, 475; 0, 275) \neq = V$ : ce n'est pas un état stable, bien que la première composante, elle, soit inchangée.

Le point à retenir. Vérifier un état stable demande les $r$ composantes, pas une. Ici la première coïncide par hasard, et s'arrêter là aurait fait conclure le contraire de la vérité. Le contrôle qui reste utile est la somme : $0, 25 + 0, 475 + 0, 275 = 1$ , comme il se doit pour tout $V_{n}$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.