Quand les colonnes aussi somment à 1

Ce qu'on emploie. La définition d'un état stable : un vecteur ligne à coefficients positifs, de somme $1$, vérifiant $VM=V$.

$V$ est bien un candidat. Ses $r$ coefficients valent $\frac{1}{r}>0$ et leur somme vaut $r\times \frac{1}{r}=1$.

Le calcul. Le $j$-ième coefficient du produit $VM$ vaut $$(VM{)}_j=\sum _{i=1}^r\frac{1}{r}{m}_{i,j}=\frac{1}{r}\sum _{i=1}^r{m}_{i,j}.$$ La somme qui reste est celle de la colonne $j$ de $M$ : c'est là qu'intervient l'hypothèse supplémentaire, et elle vaut $1$. Donc $$(VM{)}_j=\frac{1}{r}\times 1=\frac{1}{r}$$ pour tout $j$, c'est-à-dire $VM=V$. L'état uniforme est bien stable.

Le point délicat. L'hypothèse « les lignes somment à $1$ » sert au produit $MU=U$ (voir la structure d'une matrice de transition) ; c'est l'hypothèse « les colonnes somment à $1$ » qui sert ici. Les deux ne se confondent pas : une matrice de transition quelconque n'a aucune raison d'avoir des colonnes de somme $1$, et son état stable n'est alors pas uniforme.

L'application. Les lignes de la matrice proposée somment à $0,2+0,3+0,5=1$, $0,5+0,2+0,3=1$ et $0,3+0,5+0,2=1$ : c'est une matrice de transition. Ses colonnes somment à $0,2+0,5+0,3=1$, $0,3+0,2+0,5=1$ et $0,5+0,3+0,2=1$. L'hypothèse est donc vérifiée, et $$V=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$$ est un état stable de $M$ — sans avoir eu à résoudre le moindre système.