Remonter à la matrice

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 10 — Chaînes de Markov · Matrice de transition et itérations

Énoncé

Une chaîne à deux états, partie certainement de l'état $1$ , se trouve après un pas en $(0, 6; 0, 4)$ ; partie certainement de l'état $2$ , elle se trouve en $(0, 1; 0, 9)$ . Écrire sa matrice de transition, puis l'état obtenu après un pas depuis $(0, 5; 0, 5)$ .

Corrigé

La lecture de chaque ligne. Partir certainement de l'état $1$ , c'est $V_{0} = (1; 0)$ , et alors $V_{1} = V_{0} M$ est la première ligne de $M$ : le vecteur $(1; 0)$ sélectionne exactement cette ligne. De même $V_{0} = (0; 1)$ rend la deuxième. D'où

$M = (0, 6 0, 1 0, 4 0, 9) .$

Vérification. Les coefficients sont positifs et chaque ligne somme à $1$ : $0, 6 + 0, 4 = 1$ , $0, 1 + 0, 9 = 1$ . C'est bien une matrice de transition.

L'état demandé.

$(0, 5; 0, 5) M = (0, 5 \times 0, 6 + 0, 5 \times 0, 1; 0, 5 \times 0, 4 + 0, 5 \times 0, 9) = (0, 35; 0, 65) .$

La somme vaut $1$ : le contrôle passe.

Le point à retenir. La ligne $i$ de $M$ est l'état après un pas quand on part certainement de $i$ . C'est la traduction directe de la convention $V_{n} = V_{n - 1} M$ , et c'est elle qui rend la matrice mesurable : on observe la chaîne depuis chaque état pur, et l'on empile les résultats.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.