Remonter le temps

Ce qu'on emploie. La formule des probabilités totales pour le dénominateur, et la définition d'une probabilité conditionnelle pour le quotient. La matrice de transition donne les probabilités « en avant » ; la question porte sur une probabilité « en arrière », qu'aucun coefficient de $M$ ne contient.

Le dénominateur. L'état $2$ à l'instant $1$ peut être atteint depuis l'état $1$ ou depuis l'état $2$ : $$P([X_1=2])=P([X_0=1])m_{1,2}+P([X_0=2])m_{2,2}=0,5\times 0,3+0,5\times 0,9=0,15+0,45=0,60.$$ C'est aussi la seconde composante de $V_1=V_{0}M=(0,40;0,60)$ — les deux calculs coïncident, ce qui contrôle le résultat.

Le numérateur. $$P([X_0=1]\cap [X_1=2])=P([X_0=1])m_{1,2}=0,5\times 0,3=0,15.$$

Le quotient. Comme $P([X_1=2])=0,60\ne 0$, le conditionnement a un sens : $$P([X_0=1]\mid [X_1=2])=\frac{0,15}{0,60}=0,25.$$

Lecture. On était parti de l'état $1$ avec la probabilité $0,5$ ; apprendre que la chaîne se trouve en $2$ au pas suivant fait tomber cette probabilité à $0,25$. C'est cohérent : l'état $2$ retient beaucoup ($0,9$) et l'état $1$ le rejoint peu ($0,3$), donc une chaîne observée en $2$ vient plus vraisemblablement de $2$.

Le point délicat. Une matrice de transition n'est pas symétrique en le temps : $P([X_0=1]\mid [X_1=2])$ n'a aucune raison de valoir $m_{2,1}=0,1$, et le confondre avec lui est l'erreur à éviter.