Un équilibre à trois états

On cherche $V=(a;b;c)$ à coefficients positifs, de somme $1$, tel que $VM=V$. Le système s'écrit

$$\{\begin{array}{l}0,5a+0,25b=a,\\ 0,5a+0,5b+0,5c=b,\\ 0,25b+0,5c=c.\end{array}$$

Une équation est de trop, et ce n'est pas un accident. Si l'on ajoute les trois lignes, on obtient la somme des coefficients de $VM$ d'un côté, celle de $V$ de l'autre — et elles sont égales pour tout vecteur, puisque chaque ligne de $M$ somme à $1$. Le système est donc de rang au plus $2$ : c'est la normalisation qui fournira la troisième équation.

Résolution. La première ligne donne $0,25b=0,5a$, soit $b=2a$. La troisième donne $0,25b=0,5c$, soit $c=\frac{b}{2}=a$.

Normalisation. $a+2a+a=1$, donc $a=0,25$ et

$$V=(0,25;0,5;0,25).$$

Vérification sur l'équation écartée. $0,5\times 0,25+0,5\times 0,5+0,5\times 0,25=0,5=b$. Elle est satisfaite, comme annoncé.

Le point à retenir. Le système $VM=V$ est toujours dégénéré : on résout avec $r-1$ équations et l'on referme avec la somme égale à $1$. La ligne qu'on a laissée de côté sert alors de contrôle gratuit.