Un état absorbant

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 10 — Chaînes de Markov · Comportement limite et vitesse

Énoncé

Soit $M = (0, 6 0 0, 4 1)$ . Déterminer les états stables, et le comportement de $V_{n}$ pour $V_{0} = (1; 0)$ .

Corrigé

États stables. $0, 6 p + 0 \times q = p$ donne $0, 4 p = 0$ , donc $p = 0$ et $q = 1$ . L'unique état stable est $(0; 1)$ .

Évolution. $V_{1} = (0, 6; 0, 4)$ , $V_{2} = (0, 36; 0, 64)$ , $V_{3} = (0, 216; 0, 784)$ … La première composante vaut $0, 6^{n}$ et tend vers $0$ .

Conclusion. $V_{n} \to (0; 1)$ : l'état $2$ est absorbant — on ne peut plus en sortir, et la chaîne y tombe presque sûrement.

Modélisation. C'est le modèle d'une panne définitive, d'un défaut de paiement, ou d'un client définitivement perdu.

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