Un état stable à deux composantes

La méthode. En trois gestes : écrire $VM=V$, résoudre (le système est toujours de rang au plus $1$ ici), puis normaliser pour que la somme des composantes vaille $1$.

L'équation. Posons $V=(p;q)$. La première composante de $VM$ vaut $0,5p+0,2q$, d'où $$0,5p+0,2q=p⟹0,2q=0,5p⟹q=2,5p.$$ (La seconde composante donnerait la même équation : $0,5p+0,8q=q$ se ramène à $0,5p=0,2q$. C'est toujours le cas à deux états, et cela sert de vérification.)

La normalisation. $p+q=1$ donne $p+2,5p=1$, soit $3,5p=1$ et $$p=\frac{1}{3,5}=\frac{2}{7},q=\frac{5}{7}.$$

L'état stable. $$V=\left(\frac{2}{7};\frac{5}{7}\right)\approx (0,286;0,714).$$

Vérification. $$\frac{2}{7}\times 0,5+\frac{5}{7}\times 0,2=\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=\frac{2}{7},$$ et la seconde composante suit par complémentarité. L'équilibre penche vers l'état $2$, ce qui est cohérent : il retient $80\%$ de ses occupants contre $50\%$ pour l'état $1$.