Un gain qui dépend de l'état

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 10 — Chaînes de Markov · Chaînes de Markov et variables aléatoires

Énoncé

Une chaîne à deux états, de matrice $M = (0, 8 0, 5 0, 2 0, 5)$ , rapporte chaque année un gain de $10$ dans l'état $1$ et de $- 5$ dans l'état $2$ . On part de l'état $1$ , soit $V_{0} = (1; 0)$ . Calculer le gain moyen de la première année, puis sa limite en temps long.

Corrigé

Ce qu'on emploie. L'espérance d'une variable à deux valeurs, la récurrence $V_{n} = V_{n - 1} M$ , et la recherche de l'état stable.

Le gain de l'année $n$ . Notons $G_{n}$ le gain reçu à l'instant $n$ . Il vaut $10$ si $X_{n} = 1$ et $- 5$ si $X_{n} = 2$ , donc $E (G_{n}) = 10 P ([X_{n} = 1]) - 5 P ([X_{n} = 2]) .$

La première année. $V_{1} = V_{0} M$ est la première ligne de $M$ , soit $(0, 8; 0, 2)$ . Donc $E (G_{1}) = 10 \times 0, 8 - 5 \times 0, 2 = 8 - 1 = 7.$

L'état stable. Cherchons $V = (p; q)$ avec $V M = V$ . La première composante donne $0, 8 p + 0, 5 q = p ⟹ 0, 5 q = 0, 2 p ⟹ q = 0, 4 p .$ La normalisation $p + q = 1$ donne $1, 4 p = 1$ , donc $p = \frac{5}{7}, q = \frac{2}{7} .$ Contrôle : $\frac{5}{7} \times 0, 8 + \frac{2}{7} \times 0, 5 = \frac{4}{7} + \frac{1}{7} = \frac{5}{7}$ .

La limite du gain moyen. Les coefficients de $M$ étant tous strictement positifs, la chaîne converge vers son état stable, et $n \to + \infty lim E (G_{n}) = 10 \times \frac{5}{7} - 5 \times \frac{2}{7} = \frac{50 - 10}{7} = \frac{40}{7} \approx 5, 71.$

Lecture. Le gain moyen part de $7$ — la première année se passe surtout dans l'état favorable — et décroît vers $\frac{40}{7}$ , valeur d'équilibre. Elle reste positive : à long terme, l'activité est rentable en moyenne.

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