Un graphe à trois états

Chaînes de Markov · État stable · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $M = (0, 5 0 0, 5 0, 5 0, 5 0 0 0, 5 0, 5)$ . Vérifier que c'est une matrice de transition et déterminer l'état stable.

Transition. Chaque ligne somme à $1$ , et tous les coefficients sont positifs.

État stable. Cherchons $V = (a; b; c)$ avec $V M = V$ :

$⎩ ⎨ ⎧ 0, 5 a + 0, 5 c = a 0, 5 a + 0, 5 b = b 0, 5 b + 0, 5 c = c ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ c = a a = b b = c$

Les trois composantes sont égales. Avec $a + b + c = 1$ :

$V = (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}) .$

Vérification. $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) M$ : chaque composante vaut $\frac{1}{3} (0, 5 + 0, 5) = \frac{1}{3}$ . C'est bien stable.

Remarque. Ici chaque colonne somme aussi à $1$ : la matrice est dite bistochastique, et l'état uniforme est alors toujours stable.