Un modèle de fidélité

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 10 — Chaînes de Markov · Modéliser par un graphe

Énoncé

Chaque année, $15 %$ des clients d'un opérateur $A$ le quittent pour $B$ , et $25 %$ des clients de $B$ passent chez $A$ . Écrire la matrice de transition et déterminer la répartition d'équilibre.

Corrigé

Matrice. État $1 = A$ , état $2 = B$ :

$M = (0, 85 0, 25 0, 15 0, 75) .$

État stable. $0, 85 p + 0, 25 q = p$ donne $0, 25 q = 0, 15 p$ , soit $q = 0, 6 p$ . Avec $p + q = 1$ : $1, 6 p = 1$ , donc

$p = 0, 625, q = 0, 375.$

Interprétation. À long terme, l'opérateur $A$ conserve $62, 5 %$ du marché, quelle que soit la répartition de départ. Le rapport $\frac{0 , 625}{0 , 375} = \frac{5}{3}$ est exactement l'inverse du rapport des taux de fuite $\frac{0 , 15}{0 , 25} = \frac{3}{5}$ — un moyen de vérifier le résultat de tête.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.