Un pas de plus, et un contrôle

Chaînes de Markov · Calculer les premiers états · niveau 1 (application)

Énoncé

Une chaîne à deux états de matrice $M = (0, 9 0, 2 0, 1 0, 8)$ se trouve à l'instant $1$ dans l'état $V_{1} = (0, 4; 0, 6)$ . Calculer $V_{2}$ , et vérifier que la somme de ses composantes vaut $1$ .

Corrigé

La récurrence. Elle ne fait intervenir que l'état précédent : $V_{2} = V_{1} M$ . On n'a donc pas besoin de connaître $V_{0}$ — c'est précisément ce que dit la propriété de Markov, l'avenir ne dépendant que du présent.

Le calcul. Première composante, avec la première colonne de $M$ : $(V_{2})_{1} = 0, 4 \times 0, 9 + 0, 6 \times 0, 2 = 0, 36 + 0, 12 = 0, 48.$ Seconde composante, avec la seconde colonne : $(V_{2})_{2} = 0, 4 \times 0, 1 + 0, 6 \times 0, 8 = 0, 04 + 0, 48 = 0, 52.$ Donc $V_{2} = (0, 48; 0, 52) .$

Le contrôle. $0, 48 + 0, 52 = 1$ . Ce n'est pas une coïncidence : si $V_{1}$ somme à $1$ et si $M$ est une matrice de transition, alors $V_{1} M$ somme nécessairement à $1$ . Une somme différente de $1$ révélerait donc toujours une erreur de calcul — souvent le produit écrit dans le mauvais sens.

Lecture. La chaîne remonte vers l'état $1$ ( $0, 4$ puis $0, 48$ ), qui est le plus « collant » avec $m_{1, 1} = 0, 9$ .

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