Un premier pas à trois états

Vérification préalable. Chaque ligne de $M$ somme à $1$ : $0,4+0,4+0,2=1$, $0,2+0,5+0,3=1$ et $0,1+0,3+0,6=1$. C'est bien une matrice de transition.

Le premier pas. Comme $V_0=(1;0;0)$, le produit $V_{0}M$ sélectionne simplement la première ligne de $M$ : $$V_1=(0,4;0,4;0,2).$$ C'est un cas général utile : partir certainement de l'état $i$ donne pour $V_1$ la ligne $i$ de la matrice.

Le second pas. Chaque composante se lit sur une colonne de $M$ : $$(V_2{)}_1=0,4\times 0,4+0,4\times 0,2+0,2\times 0,1=0,16+0,08+0,02=0,26,$$ $$(V_2{)}_2=0,4\times 0,4+0,4\times 0,5+0,2\times 0,3=0,16+0,20+0,06=0,42,$$ $$(V_2{)}_3=0,4\times 0,2+0,4\times 0,3+0,2\times 0,6=0,08+0,12+0,12=0,32.$$ Donc $$V_2=(0,26;0,42;0,32).$$

Contrôle. $0,26+0,42+0,32=1$. La chaîne, partie de l'état $1$, s'en éloigne : sa probabilité y tombe de $1$ à $0,4$ puis à $0,26$.