Vérifier qu'un vecteur est stable

Ce qu'il faut vérifier. Trois choses, et non une seule : les composantes de $V$ sont positives, leur somme vaut $1$, et $VM=V$.

Les deux premières. $0,25>0$ et $0,75>0$, et $$0,25+0,75=1.$$

Le produit. Première composante, avec la première colonne de $M$ : $$(VM{)}_1=0,25\times 0,4+0,75\times 0,2=0,10+0,15=0,25.$$ Seconde composante, avec la seconde colonne : $$(VM{)}_2=0,25\times 0,6+0,75\times 0,8=0,15+0,60=0,75.$$ On obtient $VM=(0,25;0,75)=V$.

Conclusion. $V$ est bien un état stable de $M$ : si la chaîne y démarre, elle y reste indéfiniment, et $V_n=V$ pour tout $n$.

Remarque. Vérifier est bien plus rapide que chercher — mais cela ne remplace pas la recherche : ce calcul ne dit pas que $V$ est le seul état stable, ni que la chaîne y converge depuis un autre départ. Ici les coefficients de $M$ sont tous strictement positifs, ce qui garantit les deux.