Vérifier qu'un vecteur est stable

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 10 — Chaînes de Markov · État stable

Énoncé

Soit $M = (0, 4 0, 2 0, 6 0, 8)$ . Vérifier que $V = (0, 25; 0, 75)$ est un état stable de $M$ .

Corrigé

Ce qu'il faut vérifier. Trois choses, et non une seule : les composantes de $V$ sont positives, leur somme vaut $1$ , et $V M = V$ .

Les deux premières. $0, 25 > 0$ et $0, 75 > 0$ , et $0, 25 + 0, 75 = 1.$

Le produit. Première composante, avec la première colonne de $M$ : $(V M)_{1} = 0, 25 \times 0, 4 + 0, 75 \times 0, 2 = 0, 10 + 0, 15 = 0, 25.$ Seconde composante, avec la seconde colonne : $(V M)_{2} = 0, 25 \times 0, 6 + 0, 75 \times 0, 8 = 0, 15 + 0, 60 = 0, 75.$ On obtient $V M = (0, 25; 0, 75) = V$ .

Conclusion. $V$ est bien un état stable de $M$ : si la chaîne y démarre, elle y reste indéfiniment, et $V_{n} = V$ pour tout $n$ .

Remarque. Vérifier est bien plus rapide que chercher — mais cela ne remplace pas la recherche : ce calcul ne dit pas que $V$ est le seul état stable, ni que la chaîne y converge depuis un autre départ. Ici les coefficients de $M$ sont tous strictement positifs, ce qui garantit les deux.

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