Vitesse de convergence

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 10 — Chaînes de Markov · Comportement limite et vitesse

Énoncé

Pour $M = (0, 8 0, 3 0, 2 0, 7)$ et $V_{0} = (p_{0}; 1 - p_{0})$ , montrer que la première composante vérifie $p_{n + 1} = 0, 5 p_{n} + 0, 3$ , puis donner $p_{n}$ explicitement.

Corrigé

La récurrence. La première composante de $V_{n + 1} = V_{n} M$ vaut

$p_{n + 1} = 0, 8 p_{n} + 0, 3 (1 - p_{n}) = 0, 5 p_{n} + 0, 3.$

Point fixe. $ℓ = 0, 5 ℓ + 0, 3$ donne $ℓ = 0, 6$ — l'état stable, retrouvé autrement.

Forme explicite. Posons $u_{n} = p_{n} - 0, 6$ . Alors $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n}$ , donc

$p_{n} = 0, 6 + (p_{0} - 0, 6) \times 0, 5^{n} .$

Vitesse. L'écart à l'équilibre est divisé par $2$ à chaque étape. Le coefficient $0, 5$ est la seconde valeur propre de $M$ : la somme des coefficients diagonaux vaut $0, 8 + 0, 7 = 1, 5$ , et $1$ étant valeur propre, l'autre vaut $1, 5 - 1 = 0, 5$ . C'est elle qui gouverne la vitesse de convergence.

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