Ce qu'un changement d'unité fait au nuage

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 13 — Bases de données et travaux pratiques · Travaux pratiques

Énoncé

Un script calcule la pente $a$ , l'ordonnée à l'origine $b$ et le coefficient de corrélation $r$ d'un nuage de points, et affiche $a = - 0, 45$ , $b = 1, 12$ et $r = - 0, 99$ . On relance le même script après avoir remplacé chaque $y_{i}$ par $2 y_{i} + 5$ . Que devient chacun des trois nombres ?

Corrigé

La pente. La covariance est linéaire en $y$ : remplacer $y$ par $2 y + 5$ la multiplie par $2$ , la constante $5$ n'y contribuant pas. La variance des $x$ ne bouge pas. Donc

$a^{'} = \frac{2 Cov ( x , y )}{V ( x )} = 2 a = - 0, 90.$

L'ordonnée à l'origine. La nouvelle moyenne des $y$ vaut $2 y + 5$ , donc

$b^{'} = (2 y + 5) - a^{'} x = 2 (y - a x) + 5 = 2 b + 5 = 7, 24.$

Le coefficient de corrélation. Le numérateur est multiplié par $2$ , et l'écart-type des $y$ aussi. Les deux facteurs se simplifient :

$r^{'} = \frac{2 Cov ( x , y )}{σ _{x} \times 2 σ _{y}} = r = - 0, 99.$

Il est inchangé.

Le point délicat. Cette invariance tient au signe du facteur. Avec $- 2 y + 5$ , l'écart-type serait encore multiplié par $2$ — il est positif — mais la covariance changerait de signe : $r^{'}$ vaudrait $+ 0, 99$ .

Le point à retenir. $r$ mesure la forme de l'alignement, pas les unités : il survit à tout changement d'échelle croissant. C'est ce qui permet de comparer deux nuages de grandeurs différentes, ce que la pente $a$ , elle, ne permet jamais.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.