Une chaîne de Markov à simuler

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 13 — Bases de données et travaux pratiques · Travaux pratiques

Énoncé

Écrire les premières itérations de $V_{n} = V_{n - 1} M$ pour $M = (0, 9 0, 4 0, 1 0, 6)$ et $V_{0} = (0; 1)$ , et prévoir la limite.

Corrigé

Itérations.

$V_{1} = (0, 4; 0, 6), V_{2} = (0, 6; 0, 4), V_{3} = (0, 7; 0, 3), V_{4} = (0, 75; 0, 25) .$

Chaque étape : $V_{n + 1} = (0, 9 a + 0, 4 b; 0, 1 a + 0, 6 b)$ avec $V_{n} = (a; b)$ .

État stable. $0, 9 p + 0, 4 q = p$ donne $0, 4 q = 0, 1 p$ , soit $p = 4 q$ . Avec $p + q = 1$ : $V = (0, 8; 0, 2)$ .

Vitesse. La seconde valeur propre vaut $a + b - 1 = 0, 9 + 0, 6 - 1 = 0, 5$ : l'écart à l'équilibre est divisé par $2$ à chaque pas. On le vérifie : les écarts à $0, 8$ sont $0, 4$ puis $0, 2$ puis $0, 1$ puis $0, 05$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.