Une corrélation ne donne pas une pente

Ce que mesure $r$. Le cœfficient de corrélation mesure la qualité de l'alignement : à quel point les points serrent la droite. Il est sans unité et toujours compris entre $-1$ et $1$. Ici $r=0,99$ dans les deux cas : les deux nuages sont également bien alignés, et l'ajustement affine est également pertinent pour les deux.

Ce que mesure $a$. La pente dit de combien $y$ varie quand $x$ augmente d'une unité. Elle porte une unité — celle de $y$ divisée par celle de $x$ — et n'a donc aucune raison de ressembler à $r$. Le premier nuage monte dix fois plus vite que le second.

Le lien entre les deux. Les formules du chapitre $7$ donnent $$a=\frac{s_{xy}}{s_x^2},r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y},\text{d’ouˋ}a=r\frac{s_y}{s_x}.$$ La pente est donc le cœfficient de corrélation multiplié par le rapport des dispersions. À $r$ égal, deux nuages dont les $y$ ont des dispersions différentes ont des pentes différentes : c'est exactement le cas ici, où le second nuage a des ordonnées dix fois moins étalées.

Les valeurs ajustées en $x=10$. $$\hat{y}=2,0\times 10+0,5=20,5\text{et}\hat{y}=0,2\times 10+1,3=3,3.$$

Le point à retenir. Un $r$ proche de $1$ ne dit pas que l'effet est fort, il dit que la relation est régulière. Un ajustement peut être excellent et la pente presque nulle : les points suivent alors une droite quasi horizontale, et $x$ n'explique presque rien de la variation de $y$ en valeur absolue. Lire uniquement $r$ pour conclure à un effet important est le contresens le plus courant de ce chapitre.