Une itération dont la moitié est juste

Le contrôle qui révèle la faute. L'état d'une chaîne est un vecteur de probabilités : la somme de ses composantes doit valoir $1$ à chaque pas. Or $$1+0=1,0,8+0,3=1,1,0,7+0,45=1,15,0,65+0,525=1,175.$$ Les trois derniers vecteurs ne sont pas des états de la chaîne. C'est le contrôle à faire systématiquement, et le seul qui saute aux yeux ici.

L'erreur. Le script a écrit V = M @ V au lieu de V = V @ M. Le cours insiste sur ce point : $m_{i,j}$ va de $i$ vers $j$, donc c'est la ligne qui décrit le départ, l'état se note en vecteur ligne, et la matrice se place à droite : $V_n=V_{n-1}M$. On le vérifie sur le premier pas fautif : la seconde composante affichée, $0,3$, est $m_{2,1}$, alors qu'elle devrait être $m_{1,2}=0,2$.

Les valeurs correctes. $$V_1=(0,8;0,2),V_2=(0,7;0,3),V_3=(0,65;0,35),$$ par exemple $V_2=(0,8\times 0,8+0,2\times 0,3;0,8\times 0,2+0,2\times 0,7)$. Chacun somme bien à $1$.

Pourquoi la première composante est juste. Notons $(p_n;q_n)$ la suite correcte et $(a_n;b_n)$ celle du script. Montrons par récurrence que $a_n=p_n$ et $b_n=1,5q_n$. C'est vrai au rang $0$ : $a_0=1=p_0$ et $b_0=0=1,5\times 0$. Si c'est vrai au rang $n$, alors $$a_{n+1}=0,8a_n+0,2b_n=0,8p_n+0,2\times 1,5q_n=0,8p_n+0,3q_n=p_{n+1},$$ $$b_{n+1}=0,3a_n+0,7b_n=0,3p_n+1,05q_n=1,5(0,2p_n+0,7q_n)=1,5q_{n+1}.$$ La propriété se propage. La première composante est donc exacte à chaque pas, et la seconde vaut toujours une fois et demie sa vraie valeur — le facteur $1,5$ étant ici $\frac{m_{2,1}}{m_{1,2}}=\frac{0,3}{0,2}$.

La leçon. C'est une coïncidence propre à cette matrice et à ce départ, et c'est ce qui rend l'erreur redoutable : la moitié du résultat est juste, la suite $0,8$, $0,7$, $0,65$ converge bien vers $0,6$, et l'on pourrait lire la sortie sans rien remarquer. Seule la somme des composantes trahit la faute.