Une simulation qui semble démentir le théorème

Non, il n'y a pas de contradiction. Deux nombres jouent des rôles opposés dans cette simulation, et il faut les séparer :

• $n=5$ est la taille de l'échantillon moyenné : c'est lui qui fixe quelle loi on observe, celle de $X_5^{\ast }$ ;
• $20000$ est le nombre de répétitions : il fixe seulement avec quelle finesse on dessine cette loi.

Ce que montre l'histogramme. Il dessine, très fidèlement, la vraie loi de $X_5^{\ast }$. Or cette loi n'est pas normale : c'est la loi centrée réduite d'une somme de cinq exponentielles, qui hérite de la dissymétrie de l'exponentielle et de sa traîne à droite. L'histogramme dit donc la vérité.

Ce que dit le théorème. La convergence en loi porte sur $n\to +\infty$, pas sur le nombre de tirages. Augmenter $20000$ à un million ne rendrait le dessin que plus net — et plus nettement dissymétrique.

Ce qu'il faut changer. Augmenter $n$, par exemple à $100$, en gardant le nombre de répétitions tel quel. La cloche apparaît alors, quelle que soit la loi de départ.

Le point à retenir. Une simulation ne démontre pas un théorème asymptotique : elle l'exhibe à un $n$ donné. Confondre les deux limites — celle du théorème et celle du dessin — est l'erreur la plus fréquente devant un histogramme.