Une trajectoire à interpréter

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 13 — Bases de données et travaux pratiques · Travaux pratiques

Énoncé

On trace la solution de $X^{'} = A X$ pour $A = (0, 5 0 0 - 1)$ à partir de plusieurs conditions initiales. Que voit-on ?

Corrigé

Le système est déjà découplé : $x_{1}^{'} = 0, 5 x_{1}$ et $x_{2}^{'} = - x_{2}$ , donc

$x_{1} (t) = x_{1} (0) e^{0, 5 t}, x_{2} (t) = x_{2} (0) e^{- t} .$

À l'écran. La seconde coordonnée s'éteint rapidement, la première explose. Toute trajectoire dont $x_{1} (0) \neq = 0$ s'éloigne indéfiniment, en s'alignant sur l'axe des $x_{1}$ .

Les seules trajectoires bornées sont celles qui démarrent sur l'axe $x_{1} = 0$ : elles convergent vers l'origine. C'est un point selle, et l'origine est un équilibre instable.

Le lien avec le cours. Les valeurs propres sont $0, 5$ et $- 1$ , de signes opposés — le chapitre 4 le prévoyait sans tracer quoi que ce soit.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.