Exercices corrigés — Réduction des matrices carrées (mathématiques appliquées (ECG 2e année))
35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Éléments propres et spectre
- Lire un spectre sur une triangulaire
- Un sous-espace propre
- Une matrice symétrique, sans calcul
- Un spectre par le déterminant d’ordre deux
- La somme des coefficients diagonaux
- Une valeur propre lue sur les sommes des lignes Exercice d'entraînement
- Deux directions propres pour trois dimensions Exercice d'entraînement
- Le spectre de l'inverse Exercice d'entraînement
- Une matrice dont les lignes sont proportionnelles Exercice d'entraînement
Polynômes annulateurs
- Un spectre par polynôme annulateur
- Un polynôme annulateur qui donne l’inverse
- Un produit qui vaut zéro
- Un polynôme annulateur, puis le tri des candidats Exercice d'entraînement
- Une matrice dont le cube vaut elle-même Exercice d'entraînement
- Un carré nul interdit la diagonalisation Exercice d'entraînement
Diagonalisation
- Diagonaliser une matrice
- Une matrice qui résiste
- Diagonalisable ou non ?
- Une matrice symétrique d’ordre trois
Puissances et suites récurrentes
Diagonalisation et puissances
- Diagonaliser, puis élever à la puissance Exercice d'entraînement
- Conclure sans diagonaliser Exercice d'entraînement
- Les puissances d'une matrice qui résiste Exercice d'entraînement
- Remonter d'une diagonalisation à la matrice Exercice d'entraînement
- Le spectre ne dépend pas de la base Exercice d'entraînement
Reconnaître un élément propre
- Deux vecteurs propres à tester Application directe du cours
- Un spectre lu sur une triangulaire inférieure Application directe du cours
- Une valeur propre nulle Application directe du cours
Spectre et polynôme annulateur
- Le carré vaut quatre fois l'identité Application directe du cours
- Trouver un polynôme annulateur par le calcul Application directe du cours
- Les puissances d'une matrice diagonale Application directe du cours
Puissances et vérifications
- Une puissance calculée sans calculer la matrice Application directe du cours
- La vérification à ne jamais sauter Application directe du cours