Réduction des matrices carrées

Cours · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 3 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une matrice symétrique transforme le cercle en ellipse : ses vecteurs propres donnent les axes et ne changent pas de direction.

Le chapitre précédent s'est achevé sur une observation : un même endomorphisme change de matrice quand on change de base, et certaines bases donnent une matrice bien plus simple que d'autres. La symétrie $(x, y) \mapsto (y, x)$ , dont la matrice canonique est $(0110)$ , devient $(10 0 - 1)$ dans la base $((1, 1), (1, - 1))$ — et là, on voit ce qu'elle fait.

Ce chapitre systématise cette recherche. On cherche les directions que l'endomorphisme ne fait que dilater, sans les tourner : ce sont les directions propres. S'il y en a assez pour former une base, la matrice devient diagonale, et tout devient calculable — au premier rang de quoi les puissances $A^{n}$ , dont dépendent les suites récurrentes linéaires, les systèmes différentiels du chapitre 4 et les chaînes de Markov du chapitre 10.

AttentionComment on cherche une valeur propre en ECG

Le déterminant d'ordre $3$ et le polynôme caractéristique ne sont pas au programme. Une valeur propre ne se cherche donc jamais en annulant $det (A - λ I)$ . Trois chemins seulement : un polynôme annulateur fourni par l'énoncé, la lecture directe sur une matrice triangulaire, ou l'étude du rang de $A - λ I$ . Le programme ajoute que « la résolution de systèmes à paramètres est déconseillée » : les énoncés donneront donc presque toujours les valeurs propres, ou de quoi les trouver sans calcul lourd.

3.1 Éléments propres

3.1.1 Vecteurs propres, valeurs propres

Définition 3.1Éléments propres

Soit $A \in M_{n} (R)$ . Un réel $λ$ est une valeur propre de $A$ lorsqu'il existe une colonne $X \in M_{n, 1} (R)$ non nulle telle que

$A X = λ X .$

Une telle colonne $X$ s'appelle un vecteur propre de $A$ associé à $λ$ . L'ensemble

$E_{λ} (A) = {X ∣ A X = λ X}$

est le sous-espace propre associé à $λ$ .

AttentionLe vecteur nul n'est jamais propre

La colonne nulle vérifie $A \cdot 0 = λ \cdot 0$ pour tout $λ$ : l'autoriser rendrait tout réel valeur propre. C'est pourquoi la définition exige $X \neq = 0$ . En revanche $0$ appartient toujours à $E_{λ} (A)$ , qui est un sous-espace vectoriel — c'est le noyau de $A - λ I_{n}$ .

Définition 3.2Spectre

Le spectre de $A$ , noté $Sp (A)$ , est l'ensemble de ses valeurs propres.

◆Théorème 3.3Caractérisation sans déterminant

Soit $A \in M_{n} (R)$ et $λ \in R$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$λ \in Sp (A)$ ;
la matrice $A - λ I_{n}$ n'est pas inversible ;
$rg (A - λ I_{n}) < n$ ;
le système homogène $(A - λ I_{n}) X = 0$ a une solution non nulle.

Démonstration

$A X = λ X$ s'écrit $(A - λ I_{n}) X = 0$ . Dire qu'il existe une solution non nulle, c'est dire que le noyau de $A - λ I_{n}$ n'est pas réduit à ${0}$ , donc que cette matrice n'est pas inversible — et, par le théorème du rang, que son rang est strictement inférieur à $n$ .

Exemple 3.4Le spectre d'une matrice triangulaire

Si $A$ est triangulaire, $A - λ I_{n}$ l'est aussi, et ses coefficients diagonaux sont $a_{i, i} - λ$ . Or une matrice triangulaire est inversible si et seulement si aucun coefficient diagonal n'est nul. Donc

$Sp (A) = {a_{1, 1}, a_{2, 2}, \dots, a_{n, n}} :$

les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux. Ainsi $Sp (300120753) = {3, 2}$ — la valeur $3$ n'est comptée qu'une fois, un spectre est un ensemble.

3.1.2 Polynômes annulateurs

Définition 3.5Polynôme annulateur

Un polynôme $Q$ est annulateur de $A \in M_{n} (R)$ lorsque $Q (A) = 0$ , où $Q (A)$ s'obtient en remplaçant $x^{k}$ par $A^{k}$ et le terme constant $a_{0}$ par $a_{0} I_{n}$ .

Exercices du chapitre

Lire un spectre sur une triangulaire corrigé
Un sous-espace propre corrigé
Une matrice symétrique, sans calcul corrigé
Un spectre par le déterminant d’ordre deux corrigé
La somme des coefficients diagonaux corrigé
Un spectre par polynôme annulateur corrigé

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