Réduction des matrices carrées

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 3 · prépa ECG, 2e année

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

Le chapitre précédent s'est achevé sur une observation : un même endomorphisme change de matrice quand on change de base, et certaines bases donnent une matrice bien plus simple que d'autres. La symétrie $(x, y) \mapsto (y, x)$ , dont la matrice canonique est $(0110)$ , devient $(10 0 - 1)$ dans la base $((1, 1), (1, - 1))$ — et là, on voit ce qu'elle fait.

Ce chapitre systématise cette recherche. On cherche les directions que l'endomorphisme ne fait que dilater, sans les tourner : ce sont les directions propres. S'il y en a assez pour former une base, la matrice devient diagonale, et tout devient calculable — au premier rang de quoi les puissances $A^{n}$ , dont dépendent les suites récurrentes linéaires, les systèmes différentiels du chapitre 4 et les chaînes de Markov du chapitre 10.

AttentionComment on cherche une valeur propre en ECG

Le déterminant d'ordre $3$ et le polynôme caractéristique ne sont pas au programme. Une valeur propre ne se cherche donc jamais en annulant $det (A - λ I)$ . Trois chemins seulement : un polynôme annulateur fourni par l'énoncé, la lecture directe sur une matrice triangulaire, ou l'étude du rang de $A - λ I$ . Le programme ajoute que « la résolution de systèmes à paramètres est déconseillée » : les énoncés donneront donc presque toujours les valeurs propres, ou de quoi les trouver sans calcul lourd.

3.1 Éléments propres

3.1.1 Vecteurs propres, valeurs propres

Définition 3.1Éléments propres

Soit $A \in M_{n} (R)$ . Un réel $λ$ est une valeur propre de $A$ lorsqu'il existe une colonne $X \in M_{n, 1} (R)$ non nulle telle que

$A X = λ X .$

Une telle colonne $X$ s'appelle un vecteur propre de $A$ associé à $λ$ . L'ensemble

$E_{λ} (A) = {X ∣ A X = λ X}$

est le sous-espace propre associé à $λ$ .

AttentionLe vecteur nul n'est jamais propre

La colonne nulle vérifie $A \cdot 0 = λ \cdot 0$ pour tout $λ$ : l'autoriser rendrait tout réel valeur propre. C'est pourquoi la définition exige $X \neq = 0$ . En revanche $0$ appartient toujours à $E_{λ} (A)$ , qui est un sous-espace vectoriel — c'est le noyau de $A - λ I_{n}$ .

Définition 3.2Spectre

Le spectre de $A$ , noté $Sp (A)$ , est l'ensemble de ses valeurs propres.

◆Théorème 3.3Caractérisation sans déterminant

Soit $A \in M_{n} (R)$ et $λ \in R$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$λ \in Sp (A)$ ;
la matrice $A - λ I_{n}$ n'est pas inversible ;
$rg (A - λ I_{n}) < n$ ;
le système homogène $(A - λ I_{n}) X = 0$ a une solution non nulle.

Démonstration

$A X = λ X$ s'écrit $(A - λ I_{n}) X = 0$ . Dire qu'il existe une solution non nulle, c'est dire que le noyau de $A - λ I_{n}$ n'est pas réduit à ${0}$ , donc que cette matrice n'est pas inversible — et, par le théorème du rang, que son rang est strictement inférieur à $n$ .

Exemple 3.4Le spectre d'une matrice triangulaire

Si $A$ est triangulaire, $A - λ I_{n}$ l'est aussi, et ses coefficients diagonaux sont $a_{i, i} - λ$ . Or une matrice triangulaire est inversible si et seulement si aucun coefficient diagonal n'est nul. Donc

$Sp (A) = {a_{1, 1}, a_{2, 2}, \dots, a_{n, n}} :$

les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux. Ainsi $Sp (300120753) = {3, 2}$ — la valeur $3$ n'est comptée qu'une fois, un spectre est un ensemble.

3.1.2 Polynômes annulateurs

Définition 3.5Polynôme annulateur

Un polynôme $Q$ est annulateur de $A \in M_{n} (R)$ lorsque $Q (A) = 0$ , où $Q (A)$ s'obtient en remplaçant $x^{k}$ par $A^{k}$ et le terme constant $a_{0}$ par $a_{0} I_{n}$ .

◆Théorème 3.6Ce qu'un polynôme annulateur apprend

Si $Q$ est un polynôme annulateur de $A$ , alors toute valeur propre de $A$ est racine de $Q$ :

$Sp (A) \subset {racines de Q} .$

Démonstration

Soit $λ \in Sp (A)$ et $X \neq = 0$ tel que $A X = λ X$ . Alors $A^{2} X = A (λ X) = λ A X = λ^{2} X$ , et par récurrence $A^{k} X = λ^{k} X$ pour tout $k$ . Par linéarité, $Q (A) X = Q (λ) X$ . Or $Q (A) = 0$ , donc $Q (λ) X = 0$ avec $X \neq = 0$ : nécessairement $Q (λ) = 0$ .

AttentionL'inclusion est stricte en général

Une racine de $Q$ n'est pas forcément valeur propre. Si $A = I_{2}$ , le polynôme $Q (x) = (x - 1) (x - 5)$ est annulateur — car $(A - I_{2}) (A - 5 I_{2}) = 0$ — pourtant $5 \in / Sp (I_{2}) = {1}$ . Un polynôme annulateur donne donc une liste de candidats, qu'il faut ensuite trier un par un.

Exemple 3.7Un spectre trouvé sans un seul système

Soit $A$ telle que $A^{2} = 3 A - 2 I_{n}$ , c'est-à-dire $A^{2} - 3 A + 2 I_{n} = 0$ . Le polynôme $Q (x) = x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ est annulateur, donc $Sp (A) \subset {1, 2}$ . Il ne reste qu'à tester ces deux candidats.

iRemarqueAucune autre connaissance n'est exigible

Le programme est explicite : « aucune connaissance supplémentaire sur les polynômes annulateurs n'est au programme ». On ne parlera donc ni de polynôme minimal, ni du théorème de Cayley-Hamilton.

3.2 Diagonalisation

3.2.1 Les sous-espaces propres sont indépendants

◆Théorème 3.8Concaténation de familles propres

Soient $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ des valeurs propres deux à deux distinctes de $A$ , et pour chaque $i$ une famille libre de $E_{λ_{i}} (A)$ . Alors la famille obtenue en concaténant ces $k$ familles est libre.

↳Corollaire 3.9

Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre. En particulier, une matrice de $M_{n} (R)$ a au plus $n$ valeurs propres.

3.2.2 Matrice diagonalisable

Définition 3.10Diagonalisable

Une matrice $A \in M_{n} (R)$ est diagonalisable lorsqu'il existe une matrice diagonale $D$ et une matrice inversible $P$ telles que

$D = P^{- 1} A P, c’est- a ˋ -dire A = P D P^{- 1} .$

◆Théorème 3.11Comment on fabrique

P

D

$A$ est diagonalisable si et seulement s'il existe une base de $M_{n, 1} (R)$ formée de vecteurs propres de $A$ . Dans ce cas :

les colonnes de $P$ sont ces vecteurs propres,
les coefficients diagonaux de $D$ sont les valeurs propres correspondantes, dans le même ordre.

ImportantL'ordre est un contrat

Si la troisième colonne de $P$ est un vecteur propre de valeur propre $- 2$ , alors le troisième coefficient diagonal de $D$ doit être $- 2$ . Échanger deux colonnes de $P$ oblige à échanger les deux coefficients de $D$ . C'est l'erreur la plus fréquente, et elle ne se voit qu'au moment de vérifier $A P = P D$ .

Exemple 3.12Une diagonalisation, en entier

Soit $A = (3012)$ . Elle est triangulaire, donc $Sp (A) = {3, 2}$ .

Pour $λ = 3$ : $(A - 3 I_{2}) X = 0$ s'écrit $(00 1 - 1) (x y) = 0$ , soit $y = 0$ . Donc $E_{3} (A) = Vect (10)$ .

Pour $λ = 2$ : $(1010) (x y) = 0$ , soit $x + y = 0$ . Donc $E_{2} (A) = Vect (1 - 1)$ .

Les deux vecteurs propres forment une base de $M_{2, 1} (R)$ :

$P = (10 1 - 1), D = (3002), A P = P D = (30 2 - 2) .$

La dernière égalité est la vérification à ne jamais sauter.

◆Théorème 3.13Deux critères commodes

Soit $A \in M_{n} (R)$ .

Si $A$ possède $n$ valeurs propres deux à deux distinctes, alors $A$ est diagonalisable.
Si $A$ est symétrique, alors $A$ est diagonalisable.

iRemarqueRésultats admis

Le second est admis par le programme. Il est très utile : il permet d'affirmer qu'une matrice est diagonalisable avant tout calcul, d'un simple coup d'œil à sa symétrie.

AttentionLa réciproque du premier critère est fausse

$I_{2}$ n'a qu'une valeur propre, $1$ , et elle est pourtant diagonale donc diagonalisable. Avoir $n$ valeurs propres distinctes est suffisant, jamais nécessaire.

Exemple 3.14Une matrice qui n'est pas diagonalisable

Soit $A = (2012)$ . Elle est triangulaire, donc $Sp (A) = {2}$ . Le système $(A - 2 I_{2}) X = 0$ s'écrit $(0010) X = 0$ , soit $y = 0$ : $E_{2} (A) = Vect (10)$ , de dimension $1$ . Il n'y a qu'une direction propre, on ne peut pas construire une base de $M_{2, 1} (R)$ avec : $A$ n'est pas diagonalisable.

3.3 Puissances d'une matrice

3.3.1 Le cas diagonalisable

◆Théorème 3.15Puissances par diagonalisation

Si $A = P D P^{- 1}$ avec $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ , alors pour tout $n \in N$ ,

$A^{n} = P D^{n} P^{- 1}, o u ˋ D^{n} = diag (λ_{1}^{n}, \dots, λ_{n}^{n}) .$

Démonstration

Par récurrence. Pour $n = 0$ c'est $I_{n} = P I_{n} P^{- 1}$ . Et si $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ , alors

$A^{n + 1} = A^{n} A = (P D^{n} P^{- 1}) (P D P^{- 1}) = P D^{n} (P^{- 1} P) D P^{- 1} = P D^{n + 1} P^{- 1} .$

Les $P^{- 1} P$ intermédiaires se télescopent : c'est tout le mécanisme.

3.3.2 Le cas non diagonalisable : la formule du binôme

ImportantLa méthode quand la diagonalisation échoue

Si $A$ s'écrit $A = λ I_{n} + N$ où $N$ est une matrice nilpotente (c'est-à-dire $N^{k} = 0$ pour un certain $k$ ), alors $λ I_{n}$ et $N$ commutent, et la formule du binôme s'applique :

$A^{n} = (λ I_{n} + N)^{n} = j = 0 \sum n (j n) λ^{n - j} N^{j} .$

La somme s'arrête d'elle-même à $j = k - 1$ , puisque $N^{k} = 0$ .

AttentionLe binôme exige que les deux matrices commutent

$(A + B)^{n} = \sum (j n) A^{n - j} B^{j}$ est faux en général pour des matrices. Il faut $A B = B A$ . Ici, $λ I_{n}$ commute avec tout : c'est ce qui autorise le calcul, et rien d'autre.

Exemple 3.16Les puissances d'une matrice non diagonalisable

Reprenons $A = (2012) = 2 I_{2} + N$ avec $N = (0010)$ . On calcule $N^{2} = 0$ . Le binôme donne, pour $n ⩾ 1$ ,

$A^{n} = 2^{n} I_{2} + n 2^{n - 1} N = (2^{n} 0 n 2^{n - 1} 2^{n}) .$

Vérification pour $n = 2$ : $(4044)$ , et en effet $A^{2} = (2012) (2012) = (4044)$ .

3.3.3 Application aux suites récurrentes linéaires

ImportantLe schéma, toujours le même

Une suite de vecteurs définie par $X_{n + 1} = A X_{n}$ vérifie $X_{n} = A^{n} X_{0}$ . Diagonaliser $A$ donne donc une formule explicite pour $X_{n}$ , et son comportement quand $n$ tend vers $+ \infty$ se lit sur les $λ_{i}^{n}$ :

si tous les $∣ λ_{i} ∣ < 1$ , alors $X_{n} \to 0$ ;
si un $∣ λ_{i} ∣ > 1$ , la composante correspondante explose ;
si $λ_{i} = 1$ , la composante reste constante.

Python : Diagonaliser, et vérifier


import numpy as np

A = np.array([[3., 1.], [0., 2.]])
# vp = valeurs propres, P = vecteurs en colonnes
vp, P = np.linalg.eig(A)
print(vp)                         # [3. 2.]

D = np.diag(vp)
# True   <- LA verification : AP = PD
print(np.allclose(A @ P, P @ D))
print(np.allclose(np.linalg.matrix_power(A, 5),
                  P @ np.diag(vp**5) @ np.linalg.inv(P)))   # True

np.linalg.eig ne dit pas si la matrice est diagonalisable : sur $(2012)$ elle rend deux fois la valeur $2$ et deux colonnes presque identiques. C'est $A P = P D$ , et la dimension des sous-espaces propres, qui tranchent.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices