Applications linéaires, matrices et changement de base

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 2 · prépa ECG, 2e année

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Le chapitre précédent a donné un décor : des espaces vectoriels, leurs bases, leur dimension. Il reste à dire ce qui les relie. Une application linéaire est une transformation qui respecte les deux opérations — elle envoie une somme sur une somme et un multiple sur le même multiple. C'est peu, et c'est énorme : une telle application est entièrement déterminée par ce qu'elle fait aux vecteurs d'une base, c'est-à-dire par un tableau fini de nombres.

Ce chapitre établit ce dictionnaire dans les deux sens. À une application linéaire il associe une matrice ; à une matrice, une application linéaire. Puis il pose la question qui occupera tout le chapitre 3 : une même transformation ayant une matrice différente dans chaque base, laquelle choisir ?

AttentionCe qui change par rapport à la première année

En première année, les applications linéaires allaient de $R^{n}$ dans $R^{m}$ et leur matrice était écrite dans les bases canoniques — il n'y avait rien à choisir. Ici, les bases deviennent un choix, et la formule de changement de base mesure exactement ce que ce choix coûte.

2.1 Applications linéaires

2.1.1 Définition et premiers exemples

Définition 2.1Application linéaire

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels réels de dimension finie. Une application $f : E \to F$ est linéaire lorsque

$\forall (u, v) \in E^{2}, \forall (λ, μ) \in R^{2}, f (λ u + μv) = λ f (u) + μ f (v) .$

On note $L (E, F)$ l'ensemble de ces applications.

Définition 2.2Vocabulaire

Soit $f : E \to F$ linéaire.

Si $F = E$ , on dit que $f$ est un endomorphisme de $E$ .
Si $f$ est bijective, on dit que c'est un isomorphisme.
Si $f$ est un endomorphisme bijectif, on dit que c'est un automorphisme.

Proposition 2.3Conséquences immédiates

Soit $f : E \to F$ linéaire. Alors $f (0_{E}) = 0_{F}$ , et pour toute famille $(u_{1}, \dots, u_{p})$ de $E$ et tous réels $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ :

$f (i = 1 \sum p λ_{i} u_{i}) = i = 1 \sum p λ_{i} f (u_{i}) .$

Démonstration

Pour le premier point, $f (0_{E}) = f (0 \cdot 0_{E}) = 0 \cdot f (0_{E}) = 0_{F}$ . Le second s'obtient par récurrence immédiate sur $p$ à partir de la définition.

ImportantLa conséquence la plus utile de tout le chapitre

Une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base. En effet, si $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base de $E$ et si $u = \sum x_{i} e_{i}$ , alors $f (u) = \sum x_{i} f (e_{i})$ : connaître les $n$ vecteurs $f (e_{1}), \dots, f (e_{n})$ suffit à calculer $f$ partout. C'est exactement ce que la matrice va enregistrer.

Exemple 2.4Trois applications linéaires

$f : R^{3} \to R^{2}$ , $(x, y, z) \mapsto (x - y, 2 z)$ . Linéaire : chaque coordonnée d'arrivée est une combinaison linéaire des coordonnées de départ, sans terme constant.
$D : R_{3} [x] \to R_{2} [x]$ , $P \mapsto P^{'}$ . Linéaire, puisque $(λ P + μ Q)^{'} = λ P^{'} + μ Q^{'}$ .
$T : M_{2} (R) \to R$ , $A \mapsto a_{1, 1} + a_{2, 2}$ (la somme des coefficients diagonaux). Linéaire, car chaque coefficient de $A$ y intervient au premier degré.

AttentionUn terme constant tue la linéarité

$g : R^{2} \to R$ , $(x, y) \mapsto x + y + 1$ n'est pas linéaire : $g (0, 0) = 1 \neq = 0$ . Le test $f (0) = 0$ coûte une ligne et tranche souvent — c'est le même réflexe que pour les sous-espaces vectoriels au chapitre 1.

Proposition 2.5Composition

Si $f \in L (E, F)$ et $g \in L (F, G)$ , alors $g \circ f \in L (E, G)$ .

2.2 Noyau, image, rang

2.2.1 Deux sous-espaces attachés à $f$

Définition 2.6Noyau et image

Soit $f \in L (E, F)$ .

$ker (f) = {u \in E ∣ f (u) = 0_{F}}, Im (f) = {f (u) ∣ u \in E} .$

$ker (f)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , $Im (f)$ un sous-espace vectoriel de $F$ .

◆Théorème 2.7Ce que chacun mesure

Soit $f \in L (E, F)$ .

$f$ est injective si et seulement si $ker (f) = {0_{E}}$ .
$f$ est surjective si et seulement si $Im (f) = F$ .

Démonstration

(1) Si $f$ est injective et $f (u) = 0_{F} = f (0_{E})$ , alors $u = 0_{E}$ . Réciproquement, si $ker (f) = {0_{E}}$ et $f (u) = f (v)$ , alors $f (u - v) = 0_{F}$ par linéarité, donc $u - v \in ker (f)$ , donc $u = v$ .

ImportantPourquoi c'est plus court que pour une application quelconque

Pour une application quelconque, prouver l'injectivité demande de comparer deux antécédents arbitraires. Pour une application linéaire, il suffit de résoudre une équation, $f (u) = 0$ . La linéarité ramène toute comparaison à une comparaison avec zéro.

2.2.2 Le théorème du rang

Définition 2.8Rang d'une application linéaire

Le rang de $f \in L (E, F)$ est $rg (f) = dim (Im (f))$ .

◆Théorème 2.9Théorème du rang

Soit $f \in L (E, F)$ avec $E$ de dimension finie. Alors

$dim (E) = dim (ker (f)) + rg (f) .$

iRemarqueRésultat admis

Le programme admet ce théorème. Il faut néanmoins savoir le lire : la dimension de l'espace de départ se partage en deux, ce qui est écrasé et ce qui survit. Rien de ce partage ne dépend de l'espace d'arrivée.

↳Corollaire 2.10Isomorphismes en dimension finie

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de même dimension finie $n$ , et soit $f \in L (E, F)$ . Alors

$f injective ⟺ f surjective ⟺ f bijective .$

Démonstration

Si $f$ est injective, $dim ker (f) = 0$ , donc $rg (f) = n$ par le théorème du rang, donc $Im (f)$ est un sous-espace de $F$ de dimension $n = dim F$ : c'est $F$ tout entier, et $f$ est surjective. La réciproque suit le même chemin en sens inverse.

ImportantLa moitié du travail suffit, deuxième épisode

On retrouve exactement l'économie du chapitre 1 : dès que les dimensions coïncident, une seule des deux propriétés est à prouver, et c'est l'injectivité qu'on choisit — elle se ramène à résoudre $f (u) = 0$ .

Exemple 2.11Une projection, noyau et image visibles

Soit $p : R^{3} \to R^{3}$ , $(x, y, z) \mapsto (x, y, 0)$ . Elle est linéaire.

$ker (p) = {(0, 0, z)} = Vect ((0, 0, 1)), Im (p) = {(x, y, 0)} = Vect ((1, 0, 0), (0, 1, 0)) .$

Donc $dim ker (p) = 1$ , $rg (p) = 2$ , et $1 + 2 = 3 = dim R^{3}$ : le théorème du rang est vérifié. $p$ n'est ni injective ni surjective.

2.3 Matrice d'une application linéaire

2.3.1 Construction

Définition 2.12Matrice dans des bases

Soient $B = (e_{1}, \dots, e_{p})$ une base de $E$ , $C = (f_{1}, \dots, f_{n})$ une base de $F$ , et $f \in L (E, F)$ . La matrice de $f$ dans les bases $B$ et $C$ , notée $Mat_{B, C} (f)$ , est la matrice de $M_{n, p} (R)$ dont la $j$ -ème colonne est la colonne des coordonnées de $f (e_{j})$ dans la base $C$ .

Si $F = E$ et $C = B$ , on note simplement $Mat_{B} (f)$ .

◆Théorème 2.13Écriture matricielle

Avec les notations précédentes, soit $u \in E$ de colonne $X$ dans $B$ , et posons $A = Mat_{B, C} (f)$ . Alors la colonne $Y$ de $f (u)$ dans $C$ vérifie

$Y = A X .$

Exemple 2.14Une matrice, écrite en entier

Soit $D : R_{3} [x] \to R_{3} [x]$ , $P \mapsto P^{'}$ , et $B = (1, x, x^{2}, x^{3})$ . On calcule les images : $D (1) = 0$ , $D (x) = 1$ , $D (x^{2}) = 2 x$ , $D (x^{3}) = 3 x^{2}$ . En écrivant chacune en colonne dans $B$ :

$Mat_{B} (D) = 0000100002000030 .$

Le noyau de $D$ est l'ensemble des polynômes constants, de dimension $1$ ; son rang vaut donc $4 - 1 = 3$ , ce que confirment les trois colonnes non nulles.

◆Théorème 2.15Le dictionnaire est complet

Avec des bases fixées :

$rg (f) = rg (Mat_{B, C} (f))$ ;
pour $f \in L (E, F)$ et $g \in L (F, G)$ ,

$Mat_{B, D} (g \circ f) = Mat_{C, D} (g) \times Mat_{B, C} (f);$

$f$ est un isomorphisme si et seulement si sa matrice est inversible, et alors $Mat (f^{- 1}) = (Mat (f))^{- 1}$ .

AttentionL'ordre du produit

$g \circ f$ signifie « d'abord $f$ , ensuite $g$ », et sa matrice est $B A$ et non $A B$ . Les tailles le rappellent : si $A$ est $n \times p$ et $B$ est $m \times n$ , seul le produit $B A$ a un sens.

2.4 Changement de base

Définition 2.16Matrice de passage

Soient $B$ et $B^{'}$ deux bases de $E$ . La matrice de passage $P_{B, B^{'}}$ est la matrice dont la $j$ -ème colonne est la colonne des coordonnées, dans $B$ , du $j$ -ème vecteur de $B^{'}$ .

ImportantUne seule phrase à retenir

Les colonnes de $P$ sont les nouveaux vecteurs, écrits à l'ancienne. On lit « passage de $B$ à $B^{'}$ », et pourtant ce sont les vecteurs de $B^{'}$ qu'on y range, exprimés dans $B$ .

Proposition 2.17Inversibilité

$P_{B, B^{'}}$ est inversible et $(P_{B, B^{'}})^{- 1} = P_{B^{'}, B}$ .

◆Théorème 2.18Formules de changement de base

Soit $P = P_{B, B^{'}}$ .

Pour tout $u \in E$ : $X_{B} = P X_{B^{'}}$ .
Pour tout endomorphisme $f$ de $E$ : $Mat_{B^{'}} (f) = P^{- 1} Mat_{B} (f) P$ .

AttentionLe sens de la première formule surprend

$P$ mène de $B$ vers $B^{'}$ , et pourtant elle transforme les coordonnées nouvelles en coordonnées anciennes. Il n'y a pas d'erreur : $P$ contient les nouveaux vecteurs écrits à l'ancienne, la multiplier par des coordonnées nouvelles reconstitue donc bien l'ancienne colonne.

Définition 2.19Matrices semblables

Deux matrices carrées $A$ et $B$ sont semblables lorsqu'il existe une matrice inversible $P$ telle que $B = P^{- 1} A P$ . Cela revient à dire qu'elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.

Exemple 2.20Une matrice qui se simplifie en changeant de base

Soit $f$ l'endomorphisme de $R^{2}$ de matrice $A = (3012)$ dans la base canonique $B$ , et soit $B^{'} = ((1, 0), (1, - 1))$ . Alors

$P = (10 1 - 1), P^{- 1} = (10 1 - 1), Mat_{B^{'}} (f) = P^{- 1} A P = (3002) .$

Le même endomorphisme, écrit dans une base bien choisie, devient diagonal. C'est tout le sujet du chapitre 3.

Python : Changer de base, et vérifier


import numpy as np

A = np.array([[3., 1.], [0., 2.]])        # f dans la base canonique
P = np.array([[1., 1.], [0., -1.]])    # colonnes = les vecteurs de B'
B = np.linalg.inv(P) @ A @ P

print(B)                                  # [[3. 0.] [0. 2.]]
print(A[0,0]+A[1,1], B[0,0]+B[1,1])       # 5.0 5.0
print(np.linalg.matrix_rank(A),
      np.linalg.matrix_rank(B))           # 2 2

Le rang et la somme des coefficients diagonaux ne bougent pas : ce sont des propriétés de l'endomorphisme, pas de la matrice qui le représente.

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Applications linéaires, matrices et changement de base

2.1 Applications linéaires

2.1.1 Définition et premiers exemples

2.2 Noyau, image, rang

2.2.1 Deux sous-espaces attachés à f

2.2.2 Le théorème du rang

2.3 Matrice d'une application linéaire

2.3.1 Construction

2.4 Changement de base

Python : Changer de base, et vérifier

2.2.1 Deux sous-espaces attachés à $f$