Applications linéaires, matrices et changement de base

Cours · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 2 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une application linéaire transforme un quadrillage en un quadrillage de parallélogrammes : les images de e1 et e2 suffisent à la décrire.

Le chapitre précédent a donné un décor : des espaces vectoriels, leurs bases, leur dimension. Il reste à dire ce qui les relie. Une application linéaire est une transformation qui respecte les deux opérations — elle envoie une somme sur une somme et un multiple sur le même multiple. C'est peu, et c'est énorme : une telle application est entièrement déterminée par ce qu'elle fait aux vecteurs d'une base, c'est-à-dire par un tableau fini de nombres.

Ce chapitre établit ce dictionnaire dans les deux sens. À une application linéaire il associe une matrice ; à une matrice, une application linéaire. Puis il pose la question qui occupera tout le chapitre 3 : une même transformation ayant une matrice différente dans chaque base, laquelle choisir ?

AttentionCe qui change par rapport à la première année

En première année, les applications linéaires allaient de $R^{n}$ dans $R^{m}$ et leur matrice était écrite dans les bases canoniques — il n'y avait rien à choisir. Ici, les bases deviennent un choix, et la formule de changement de base mesure exactement ce que ce choix coûte.

2.1 Applications linéaires

2.1.1 Définition et premiers exemples

Définition 2.1Application linéaire

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels réels de dimension finie. Une application $f : E \to F$ est linéaire lorsque

$\forall (u, v) \in E^{2}, \forall (λ, μ) \in R^{2}, f (λ u + μv) = λ f (u) + μ f (v) .$

On note $L (E, F)$ l'ensemble de ces applications.

Définition 2.2Vocabulaire

Soit $f : E \to F$ linéaire.

Si $F = E$ , on dit que $f$ est un endomorphisme de $E$ .
Si $f$ est bijective, on dit que c'est un isomorphisme.
Si $f$ est un endomorphisme bijectif, on dit que c'est un automorphisme.

Proposition 2.3Conséquences immédiates

Soit $f : E \to F$ linéaire. Alors $f (0_{E}) = 0_{F}$ , et pour toute famille $(u_{1}, \dots, u_{p})$ de $E$ et tous réels $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ :

$f (i = 1 \sum p λ_{i} u_{i}) = i = 1 \sum p λ_{i} f (u_{i}) .$

Démonstration

Pour le premier point, $f (0_{E}) = f (0 \cdot 0_{E}) = 0 \cdot f (0_{E}) = 0_{F}$ . Le second s'obtient par récurrence immédiate sur $p$ à partir de la définition.

ImportantLa conséquence la plus utile de tout le chapitre

Une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base. En effet, si $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base de $E$ et si $u = \sum x_{i} e_{i}$ , alors $f (u) = \sum x_{i} f (e_{i})$ : connaître les $n$ vecteurs $f (e_{1}), \dots, f (e_{n})$ suffit à calculer $f$ partout. C'est exactement ce que la matrice va enregistrer.

Exemple 2.4Trois applications linéaires

$f : R^{3} \to R^{2}$ , $(x, y, z) \mapsto (x - y, 2 z)$ . Linéaire : chaque coordonnée d'arrivée est une combinaison linéaire des coordonnées de départ, sans terme constant.
$D : R_{3} [x] \to R_{2} [x]$ , $P \mapsto P^{'}$ . Linéaire, puisque $(λ P + μ Q)^{'} = λ P^{'} + μ Q^{'}$ .
$T : M_{2} (R) \to R$ , $A \mapsto a_{1, 1} + a_{2, 2}$ (la somme des coefficients diagonaux). Linéaire, car chaque coefficient de $A$ y intervient au premier degré.

AttentionUn terme constant tue la linéarité

$g : R^{2} \to R$ , $(x, y) \mapsto x + y + 1$ n'est pas linéaire : $g (0, 0) = 1 \neq = 0$ . Le test $f (0) = 0$ coûte une ligne et tranche souvent — c'est le même réflexe que pour les sous-espaces vectoriels au chapitre 1.

Proposition 2.5Composition

Si $f \in L (E, F)$ et $g \in L (F, G)$ , alors $g \circ f \in L (E, G)$ .

Exercices du chapitre

Linéaire ou non ? corrigé
Noyau, image, rang corrigé
Injective sans être surjective corrigé
L’opérateur de différence sur les polynômes corrigé
Une matrice à écrire corrigé
Une application donnée par ses valeurs sur une base corrigé

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