Espaces vectoriels réels de dimension finie

Cours · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 1 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un sous-espace vectoriel : le plan engendré par u et v contient aussi leur somme u + v.

En première année, tous les calculs vectoriels se faisaient dans un seul décor : $R^{n}$ , l'ensemble des colonnes de $n$ réels. On y a défini la somme, le produit par un réel, les familles libres, les sous-espaces. Or les mêmes gestes reviennent ailleurs, mot pour mot. Deux matrices de même taille s'additionnent ; on multiplie une matrice par un réel ; on peut se demander si trois matrices données sont « indépendantes ». Deux polynômes de degré au plus $3$ s'additionnent et donnent encore un polynôme de degré au plus $3$ . Rien dans les raisonnements de première année n'utilisait le fait que les objets étaient des colonnes.

Ce chapitre fait le pas qui manquait : il nomme d'un seul mot — espace vectoriel — tous les décors où ces gestes ont un sens, et il montre que trois d'entre eux suffiront pour toute l'année : $R^{n}$ , l'ensemble $M_{n, p} (R)$ des matrices, et l'ensemble $R_{n} [x]$ des polynômes de degré au plus $n$ .

AttentionUn chapitre volontairement bref

Le programme est explicite : « cette partie doit être traitée dans sa plus simple expression », et « on se limite par définition au cas de la dimension finie ». Il n'y a donc ici ni axiomes à vérifier, ni espace vectoriel abstrait, ni dimension infinie. Le chapitre installe un vocabulaire ; ce sont les chapitres 2 et 3 qui s'en serviront.

1.1 Qu'est-ce qu'un espace vectoriel de dimension finie ?

1.1.1 La définition du programme

Il existe plusieurs manières de définir un espace vectoriel. Celle du programme d'ECG est la plus économique : au lieu d'énumérer les règles de calcul, elle dit qu'un espace vectoriel de dimension $n$ est un ensemble qui se lit comme $R^{n}$ .

Définition 1.1Espace vectoriel réel de dimension finie

Soit $n \in N^{*}$ . Un ensemble $E$ est un espace vectoriel réel de dimension $n$ lorsqu'il est muni

d'une opération interne $+$ , qui à deux éléments $u$ et $v$ de $E$ associe un élément $u + v$ de $E$ ;
d'une opération externe $\cdot$ , qui à un réel $λ$ et à un élément $u$ de $E$ associe un élément $λ \cdot u$ de $E$ ;

et lorsqu'il existe une bijection $φ : E \to R^{n}$ qui préserve les combinaisons linéaires :

$\forall (λ, μ) \in R^{2}, \forall (u, v) \in E^{2}, φ (λ \cdot u + μ \cdot v) = λ φ (u) + μ φ (v) .$

Les éléments de $E$ s'appellent des vecteurs, les réels des scalaires. On note $0_{E}$ l'élément de $E$ tel que $φ (0_{E}) = 0$ .

iRemarquePourquoi cette définition, et pas une liste d'axiomes

Dans d'autres filières, on définit un espace vectoriel par huit règles de calcul (associativité, distributivité…) et l'on démontre ensuite qu'en dimension finie il ressemble à $R^{n}$ . Le programme d'ECG prend le chemin inverse : il pose la ressemblance comme définition. C'est légitime précisément parce qu'on ne quittera jamais la dimension finie. En contrepartie, une phrase comme « montrons que $E$ est un espace vectoriel » ne vous sera jamais demandée : les espaces qu'on manipule sont donnés dans l'énoncé.

1.1.2 Les trois espaces de référence

Définition 1.2Les espaces de l'année

Trois familles d'espaces vectoriels reviendront constamment.

$R^{n}$ : les colonnes de $n$ réels, avec l'addition terme à terme.
$M_{n, p} (R)$ : les matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes, avec l'addition matricielle et la multiplication par un réel.
$R_{n} [x]$ : les polynômes de degré au plus $n$ , c'est-à-dire les expressions $a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}$ avec $a_{i} \in R$ .

Attention« Au plus

n

», et non « égal à

n

$R_{n} [x]$ contient le polynôme nul et tous les polynômes de degré $0, 1, \dots, n$ . L'ensemble des polynômes de degré exactement $n$ , lui, n'est pas un espace vectoriel : la somme de $x^{2}$ et de $- x^{2} + x$ est $x$ , qui n'est plus de degré $2$ . C'est le « au plus » qui sauve la stabilité.

Exemple 1.3Compter les cases

$R^{5}$ est de dimension $5$ . $M_{3, 2} (R)$ est de dimension $6$ : une matrice $3 \times 2$ est déterminée par ses six coefficients, et $φ$ consiste à les écrire les uns sous les autres. $R_{4} [x]$ est de dimension $5$ , et non $4$ : les coefficients sont $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ .

Python : Trois espaces, trois façons de coder un vecteur


import numpy as np

u = np.array([1., -2., 0., 3.])          # un vecteur de R^4
A = np.array([[1., 0., 2.],              # un vecteur de M_{2,3}(R)
              [3., -1., 4.]])
p = np.array([5., 0., -1., 2.])          # 5 - x^2 + 2x^3, dans R_3[x]

print(u.size, A.size, p.size)            # 4 6 4  <- les dimensions
print(A.flatten())                   # [1. 0. 2. 3. -1. 4.]  <- phi(A)

La méthode flatten est exactement la bijection $φ$ pour les matrices : elle range les coefficients en une seule colonne, sans rien perdre ni rien ajouter.

1.2 Familles libres, familles génératrices

1.2.1 Combinaisons linéaires et sous-espace engendré

Définition 1.4Combinaison linéaire, sous-espace engendré

Soit $(u_{1}, \dots, u_{p})$ une famille de vecteurs de $E$ . Une combinaison linéaire de cette famille est un vecteur de la forme

$λ_{1} u_{1} + λ_{2} u_{2} + \dots + λ_{p} u_{p}, (λ_{1}, \dots, λ_{p}) \in R^{p} .$

L'ensemble de toutes ces combinaisons s'appelle le sous-espace engendré par la famille, et se note $Vect (u_{1}, \dots, u_{p})$ .

Définition 1.5Famille libre, famille liée, famille génératrice

Soit $(u_{1}, \dots, u_{p})$ une famille de vecteurs de $E$ .

Elle est libre lorsque la seule combinaison linéaire nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls :

$λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{p} u_{p} = 0_{E} ⟹ λ_{1} = \dots = λ_{p} = 0.$

Sinon elle est liée.

Elle est génératrice de $E$ lorsque $Vect (u_{1}, \dots, u_{p}) = E$ : tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire des $u_{i}$ .

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