Espaces vectoriels réels de dimension finie

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 1 · prépa ECG, 2e année

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

En première année, tous les calculs vectoriels se faisaient dans un seul décor : $R^{n}$ , l'ensemble des colonnes de $n$ réels. On y a défini la somme, le produit par un réel, les familles libres, les sous-espaces. Or les mêmes gestes reviennent ailleurs, mot pour mot. Deux matrices de même taille s'additionnent ; on multiplie une matrice par un réel ; on peut se demander si trois matrices données sont « indépendantes ». Deux polynômes de degré au plus $3$ s'additionnent et donnent encore un polynôme de degré au plus $3$ . Rien dans les raisonnements de première année n'utilisait le fait que les objets étaient des colonnes.

Ce chapitre fait le pas qui manquait : il nomme d'un seul mot — espace vectoriel — tous les décors où ces gestes ont un sens, et il montre que trois d'entre eux suffiront pour toute l'année : $R^{n}$ , l'ensemble $M_{n, p} (R)$ des matrices, et l'ensemble $R_{n} [x]$ des polynômes de degré au plus $n$ .

AttentionUn chapitre volontairement bref

Le programme est explicite : « cette partie doit être traitée dans sa plus simple expression », et « on se limite par définition au cas de la dimension finie ». Il n'y a donc ici ni axiomes à vérifier, ni espace vectoriel abstrait, ni dimension infinie. Le chapitre installe un vocabulaire ; ce sont les chapitres 2 et 3 qui s'en serviront.

1.1 Qu'est-ce qu'un espace vectoriel de dimension finie ?

1.1.1 La définition du programme

Il existe plusieurs manières de définir un espace vectoriel. Celle du programme d'ECG est la plus économique : au lieu d'énumérer les règles de calcul, elle dit qu'un espace vectoriel de dimension $n$ est un ensemble qui se lit comme $R^{n}$ .

Définition 1.1Espace vectoriel réel de dimension finie

Soit $n \in N^{*}$ . Un ensemble $E$ est un espace vectoriel réel de dimension $n$ lorsqu'il est muni

d'une opération interne $+$ , qui à deux éléments $u$ et $v$ de $E$ associe un élément $u + v$ de $E$ ;
d'une opération externe $\cdot$ , qui à un réel $λ$ et à un élément $u$ de $E$ associe un élément $λ \cdot u$ de $E$ ;

et lorsqu'il existe une bijection $φ : E \to R^{n}$ qui préserve les combinaisons linéaires :

$\forall (λ, μ) \in R^{2}, \forall (u, v) \in E^{2}, φ (λ \cdot u + μ \cdot v) = λ φ (u) + μ φ (v) .$

Les éléments de $E$ s'appellent des vecteurs, les réels des scalaires. On note $0_{E}$ l'élément de $E$ tel que $φ (0_{E}) = 0$ .

iRemarquePourquoi cette définition, et pas une liste d'axiomes

Dans d'autres filières, on définit un espace vectoriel par huit règles de calcul (associativité, distributivité…) et l'on démontre ensuite qu'en dimension finie il ressemble à $R^{n}$ . Le programme d'ECG prend le chemin inverse : il pose la ressemblance comme définition. C'est légitime précisément parce qu'on ne quittera jamais la dimension finie. En contrepartie, une phrase comme « montrons que $E$ est un espace vectoriel » ne vous sera jamais demandée : les espaces qu'on manipule sont donnés dans l'énoncé.

1.1.2 Les trois espaces de référence

Définition 1.2Les espaces de l'année

Trois familles d'espaces vectoriels reviendront constamment.

$R^{n}$ : les colonnes de $n$ réels, avec l'addition terme à terme.
$M_{n, p} (R)$ : les matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes, avec l'addition matricielle et la multiplication par un réel.
$R_{n} [x]$ : les polynômes de degré au plus $n$ , c'est-à-dire les expressions $a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}$ avec $a_{i} \in R$ .

Attention« Au plus

n

», et non « égal à

n

$R_{n} [x]$ contient le polynôme nul et tous les polynômes de degré $0, 1, \dots, n$ . L'ensemble des polynômes de degré exactement $n$ , lui, n'est pas un espace vectoriel : la somme de $x^{2}$ et de $- x^{2} + x$ est $x$ , qui n'est plus de degré $2$ . C'est le « au plus » qui sauve la stabilité.

Exemple 1.3Compter les cases

$R^{5}$ est de dimension $5$ . $M_{3, 2} (R)$ est de dimension $6$ : une matrice $3 \times 2$ est déterminée par ses six coefficients, et $φ$ consiste à les écrire les uns sous les autres. $R_{4} [x]$ est de dimension $5$ , et non $4$ : les coefficients sont $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ .

Python : Trois espaces, trois façons de coder un vecteur


import numpy as np

u = np.array([1., -2., 0., 3.])          # un vecteur de R^4
A = np.array([[1., 0., 2.],              # un vecteur de M_{2,3}(R)
              [3., -1., 4.]])
p = np.array([5., 0., -1., 2.])          # 5 - x^2 + 2x^3, dans R_3[x]

print(u.size, A.size, p.size)            # 4 6 4  <- les dimensions
print(A.flatten())                   # [1. 0. 2. 3. -1. 4.]  <- phi(A)

La méthode flatten est exactement la bijection $φ$ pour les matrices : elle range les coefficients en une seule colonne, sans rien perdre ni rien ajouter.

1.2 Familles libres, familles génératrices

1.2.1 Combinaisons linéaires et sous-espace engendré

Définition 1.4Combinaison linéaire, sous-espace engendré

Soit $(u_{1}, \dots, u_{p})$ une famille de vecteurs de $E$ . Une combinaison linéaire de cette famille est un vecteur de la forme

$λ_{1} u_{1} + λ_{2} u_{2} + \dots + λ_{p} u_{p}, (λ_{1}, \dots, λ_{p}) \in R^{p} .$

L'ensemble de toutes ces combinaisons s'appelle le sous-espace engendré par la famille, et se note $Vect (u_{1}, \dots, u_{p})$ .

Définition 1.5Famille libre, famille liée, famille génératrice

Soit $(u_{1}, \dots, u_{p})$ une famille de vecteurs de $E$ .

Elle est libre lorsque la seule combinaison linéaire nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls :

$λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{p} u_{p} = 0_{E} ⟹ λ_{1} = \dots = λ_{p} = 0.$

Sinon elle est liée.

Elle est génératrice de $E$ lorsque $Vect (u_{1}, \dots, u_{p}) = E$ : tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire des $u_{i}$ .

Attention« Libre » ne se lit pas, il se prouve

Sur un dessin du plan, deux flèches non alignées « se voient » libres. Dès qu'on quitte le plan — trois matrices, quatre polynômes — le dessin n'existe plus. La seule méthode est celle de la définition : on écrit la combinaison linéaire nulle et on montre que les coefficients le sont. Écrire « les vecteurs sont visiblement indépendants » ne vaut aucun point.

1.2.2 Deux méthodes qui couvrent presque tout

ImportantLes deux tests, et leur coût

Devant une famille $(u_{1}, \dots, u_{p})$ , deux questions se posent, et elles ne coûtent pas le même prix.

Est-elle libre ? On écrit $λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{p} u_{p} = 0_{E}$ , on traduit en un système linéaire homogène, et l'on montre que sa seule solution est nulle. Un seul système à résoudre.
Est-elle génératrice ? On se donne un vecteur $v$ quelconque de $E$ et l'on cherche des $λ_{i}$ tels que $\sum λ_{i} u_{i} = v$ . Le second membre est cette fois un paramètre : c'est plus long, et il faut discuter.

D'où la stratégie de tout le chapitre : dès que le cardinal de la famille égale $dim (E)$ , on ne fait que le premier test (théorème du paragraphe 3.2).

Exemple 1.6Une famille libre de polynômes, par les degrés

Dans $R_{3} [x]$ , la famille $(1, 1 + x, 1 + x + x^{2})$ est libre. En effet, supposons

$λ_{1} \cdot 1 + λ_{2} (1 + x) + λ_{3} (1 + x + x^{2}) = 0.$

Le coefficient de $x^{2}$ dans le membre de gauche vaut $λ_{3}$ ; il est donc nul. Il reste $λ_{1} + λ_{2} (1 + x) = 0$ , dont le coefficient de $x$ vaut $λ_{2}$ : nul lui aussi. Enfin $λ_{1} = 0$ .

iRemarqueLe réflexe des degrés échelonnés

L'exemple ci-dessus a une forme générale : une famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. On raisonne toujours pareil — on regarde le coefficient du plus haut degré présent, il ne peut venir que d'un seul polynôme de la famille, donc son coefficient est nul ; puis on recommence.

Exemple 1.7Une famille liée de matrices

Dans $M_{2, 2} (R)$ , posons

$A = (1001), B = (0110), C = (1111) .$

On voit que $C = A + B$ , donc $A + B - C = 0$ : la famille $(A, B, C)$ est liée. Le sous-espace $Vect (A, B, C)$ est donc le même que $Vect (A, B)$ — le troisième vecteur n'apportait rien.

1.3 Bases, dimension, coordonnées

1.3.1 Base

Définition 1.8Base

Une famille de vecteurs de $E$ est une base de $E$ lorsqu'elle est à la fois libre et génératrice de $E$ .

◆Théorème 1.9Coordonnées dans une base

Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . Alors tout vecteur $u$ de $E$ s'écrit d'une unique façon

$u = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + \dots + x_{n} e_{n} .$

Les réels $x_{1}, \dots, x_{n}$ sont les coordonnées de $u$ dans la base $B$ , et l'on note $X_{B} =^{t} (x_{1}, \dots, x_{n})$ la colonne correspondante.

Démonstration

Existence : la famille est génératrice, donc une telle écriture existe. Unicité : si $u = \sum x_{i} e_{i}$ et $u = \sum y_{i} e_{i}$ , alors en soustrayant, $\sum (x_{i} - y_{i}) e_{i} = 0_{E}$ . La famille étant libre, tous les $x_{i} - y_{i}$ sont nuls, c'est-à-dire $x_{i} = y_{i}$ pour tout $i$ .

iRemarqueC'est l'unicité qui fait tout le travail

« Génératrice » garantit qu'on peut écrire $u$ ; « libre » garantit qu'on l'écrit d'une seule manière. Sans l'unicité, parler de la colonne des coordonnées n'aurait aucun sens, et les matrices du chapitre 2 ne seraient pas définies.

1.3.2 Dimension

◆Théorème 1.10Dimension

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Toutes les bases de $E$ ont le même nombre d'éléments. Ce nombre s'appelle la dimension de $E$ et se note $dim (E)$ . Si $E$ est de dimension $n$ au sens de la définition du paragraphe 1.1, alors $dim (E) = n$ .

iRemarqueRésultat admis

Ce théorème est admis, conformément au programme. C'est lui qui autorise à parler de la dimension, et non « d'une » dimension : la bijection $φ$ vers $R^{n}$ ne fixe pas $n$ toute seule, il faut savoir qu'aucune autre bijection ne donnerait un $n$ différent.

Définition 1.11Bases canoniques

Dans $R^{n}$ : la base canonique est $(e_{1}, \dots, e_{n})$ , où $e_{i}$ a un $1$ en $i$ -ème position et des $0$ partout ailleurs. $dim (R^{n}) = n$ .
Dans $M_{n, p} (R)$ : la base canonique est la famille des $E_{i, j}$ , matrices dont le seul coefficient non nul est un $1$ en ligne $i$ et colonne $j$ . $dim (M_{n, p} (R)) = n p$ .
Dans $R_{n} [x]$ : la base canonique est $(1, x, x^{2}, \dots, x^{n})$ . $dim (R_{n} [x]) = n + 1$ .

◆Théorème 1.12La moitié du travail suffit

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ , et soit $F$ une famille de exactement $n$ vecteurs de $E$ . Alors :

$F est libre ⟺ F est g e ˊ n e ˊ ratrice ⟺ F est une base.$

ImportantLe théorème le plus rentable du chapitre

Vérifier qu'une famille est génératrice demande de résoudre un système pour un second membre quelconque ; vérifier qu'elle est libre demande de le résoudre pour le second membre nul. Le second calcul est bien plus court. Dès que le cardinal de la famille égale la dimension, on prouve donc la liberté, et la base s'ensuit. Attention : l'équivalence est fausse si le cardinal diffère de $n$ .

Exemple 1.13Une base de

R_{2} [x]

en trois lignes

La famille $(1, x - 1, (x - 1)^{2})$ compte $3$ éléments, et $dim (R_{2} [x]) = 3$ . Ses trois polynômes ont des degrés distincts ( $0$ , $1$ , $2$ ), donc la famille est libre. Par le théorème, c'est une base de $R_{2} [x]$ — sans avoir eu à résoudre le moindre système.

1.4 Sous-espaces vectoriels

Définition 1.14Sous-espace vectoriel

Soit $E$ un espace vectoriel. Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ lorsque

$0_{E} \in F$ ;
pour tous $u, v$ de $F$ et tous réels $λ, μ$ , le vecteur $λ u + μv$ appartient encore à $F$ .

Un sous-espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel, de dimension finie.

Proposition 1.15Deux fabriques de sous-espaces

Soit $E$ un espace vectoriel.

Pour toute famille $(u_{1}, \dots, u_{p})$ de vecteurs de $E$ , $Vect (u_{1}, \dots, u_{p})$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .
L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène à $n$ inconnues est un sous-espace vectoriel de $R^{n}$ .

Démonstration

(2) Le système s'écrit $A X = 0$ . La colonne nulle est solution. Et si $A X = 0$ et $A X^{'} = 0$ , alors, par linéarité du produit matriciel, $A (λ X + μ X^{'}) = λ A X + μ A X^{'} = 0$ . Les deux conditions sont remplies. Le point (1) se démontre de la même façon.

AttentionLe test qui coûte une ligne

Devant une partie $F$ décrite par une équation, commencer toujours par regarder si $0_{E}$ y appartient. Si l'équation a un second membre non nul, la réponse est non et c'est fini. Ainsi ${(x, y, z) ∣ x + y = 1}$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $R^{3}$ : c'est un plan affine, qui ne passe pas par l'origine.

◆Théorème 1.16Dimension d'un sous-espace

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ , avec $dim (E) = n$ . Alors

$dim (F) ⩽ n, et (dim (F) = n ⟺ F = E) .$

Exemple 1.17Un sous-espace de

R_{3} [x]

Soit $F = {P \in R_{3} [x] ∣ P (1) = 0}$ . Le polynôme nul vérifie $P (1) = 0$ ; et si $P (1) = Q (1) = 0$ , alors $(λ P + μ Q) (1) = λ P (1) + μ Q (1) = 0$ . C'est bien un sous-espace vectoriel. Un polynôme de $F$ s'écrit $P = (x - 1) Q$ avec $Q \in R_{2} [x]$ , et l'on peut montrer que $((x - 1), (x - 1) x, (x - 1) x^{2})$ en est une base : $dim (F) = 3$ .

AttentionUne réunion n'est presque jamais un sous-espace

Dans $R^{2}$ , prenons $D_{1}$ l'axe des abscisses et $D_{2}$ l'axe des ordonnées. Leur réunion contient $(1, 0)$ et $(0, 1)$ , mais pas leur somme $(1, 1)$ : elle n'est pas stable par addition. En revanche l'intersection de deux sous-espaces vectoriels en est toujours un.

1.5 Rang d'une famille de vecteurs

Définition 1.18Rang

Le rang d'une famille $(u_{1}, \dots, u_{p})$ de vecteurs est la dimension du sous-espace qu'elle engendre :

$rg (u_{1}, \dots, u_{p}) = dim (Vect (u_{1}, \dots, u_{p})) .$

Proposition 1.19Ce que le rang mesure

Avec les notations précédentes :

$rg (u_{1}, \dots, u_{p}) ⩽ p$ , avec égalité si et seulement si la famille est libre ;
si les $u_{i}$ appartiennent à $E$ , alors $rg (u_{1}, \dots, u_{p}) ⩽ dim (E)$ ;
la famille est génératrice de $E$ si et seulement si $rg (u_{1}, \dots, u_{p}) = dim (E)$ .

iRemarqueLe rang compte les vecteurs utiles

Une famille de $5$ vecteurs de rang $3$ contient deux vecteurs redondants : on peut en retirer deux sans changer $Vect$ . Le rang est donc le nombre de vecteurs qu'il faut au minimum pour engendrer le même sous-espace.

ImportantCalculer un rang par échelonnement

On range les vecteurs en lignes dans une matrice, puis on échelonne par opérations élémentaires sur les lignes (celles du pivot de Gauss, vues en première année) : elles ne changent ni le sous-espace engendré par les lignes, ni donc le rang. Le rang est alors le nombre de lignes non nulles de la matrice échelonnée, c'est-à-dire le nombre de pivots.

Exemple 1.20Un rang, en entier

Cherchons le rang de la famille de $R^{3}$

$u_{1} = (12 - 1), u_{2} = (24 - 2), u_{3} = (013) .$

On reconnaît $u_{2} = 2 u_{1}$ : le deuxième vecteur n'apporte rien. Restent $u_{1}$ et $u_{3}$ , qui ne sont pas proportionnels (la première coordonnée de $u_{3}$ est nulle, celle de $u_{1}$ ne l'est pas). Donc $rg (u_{1}, u_{2}, u_{3}) = 2$ , et $Vect (u_{1}, u_{2}, u_{3}) = Vect (u_{1}, u_{3})$ est un plan de $R^{3}$ .

Python : Le rang, et la vérification


import numpy as np

M = np.array([[1., 2., -1.],      # u1 en ligne
              [2., 4., -2.],      # u2 en ligne
              [0., 1.,  3.]])     # u3 en ligne

print(np.linalg.matrix_rank(M))   # 2
print(M[1] - 2*M[0])            # [0. 0. 0.]  <- la relation, en clair

matrix_rank donne le rang, mais ne dit pas quelle relation lie les vecteurs. La deuxième ligne, elle, exhibe la combinaison nulle — c'est celle-là qu'on écrit sur une copie.

AttentionLe rang ne dépend pas de l'ordre, ni des lignes ou colonnes

Échelonner en rangeant les vecteurs en lignes ou en colonnes donne le même rang. Permuter les vecteurs de la famille ne change rien non plus. En revanche, ajouter un vecteur à la famille peut faire monter le rang de $1$ , jamais plus.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices