Systèmes différentiels linéaires

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 4 · prépa ECG, 2e année

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La première année a résolu les équations différentielles $y^{'} = a y + b$ et les équations d'ordre $2$ à coefficients constants. Il s'agissait à chaque fois d'une fonction inconnue. Or les situations économiques en font intervenir plusieurs à la fois, et qui s'influencent : le prix d'un bien dépend de la quantité offerte, laquelle réagit au prix. Deux fonctions, deux équations, et chacune fait intervenir l'autre.

C'est un système différentiel. Ce chapitre montre qu'il s'écrit $X^{'} = A X$ , et surtout que la diagonalisation du chapitre 3 le découple : dans une base de vecteurs propres, les inconnues cessent de s'influencer, chacune suit sa propre exponentielle, et l'on n'a plus qu'à traduire le résultat.

AttentionL'exponentielle de matrice n'est pas au programme

On rencontre parfois la solution écrite $X (t) = e^{t A} X_{0}$ . Cette notation n'est pas au programme d'ECG et ne doit pas être employée. La seule méthode attendue est la diagonalisation, en taille $2$ ou $3$ , avec les valeurs propres fournies ou faciles à obtenir.

4.1 D'où viennent ces systèmes

4.1.1 Un exemple économique

Exemple 4.1Offre, demande et ajustement du prix

Notons $p (t)$ l'écart du prix d'un bien à son prix d'équilibre, et $s (t)$ l'écart du stock détenu par les producteurs. Un modèle simple d'ajustement s'écrit :

le prix baisse quand le stock est excédentaire : $p^{'} = - 0, 5 s$ ;
le stock augmente quand le prix est élevé, car l'offre suit : $s^{'} = 0, 8 p - 1, 3 s$ .

Soit, matriciellement,

$X^{'} = A X, X = (p s), A = (0 0, 8 - 0, 5 - 1, 3) .$

La question de l'économiste — le marché revient-il à l'équilibre ? — est exactement la question du mathématicien : $X (t)$ tend-il vers $0$ ?

4.1.2 Le cadre

Définition 4.2Système différentiel linéaire à coefficients constants

Soit $A \in M_{n} (R)$ . On appelle système différentiel linéaire à coefficients constants le problème consistant à trouver les fonctions $X : R \to M_{n, 1} (R)$ , dérivables, vérifiant

$X^{'} (t) = A X (t) pour tout t \in R,$

où $X^{'}$ désigne la colonne des dérivées des coordonnées de $X$ .

◆Théorème 4.3Problème de Cauchy

Soient $A \in M_{n} (R)$ , $t_{0} \in R$ et $X_{0} \in M_{n, 1} (R)$ . Le problème

${X^{'} = A X X (t_{0}) = X_{0}$

admet une unique solution, définie sur $R$ tout entier.

iRemarqueRésultat admis

Le programme admet ce théorème. Sa portée est considérable : deux trajectoires distinctes ne peuvent jamais se croiser, puisque le point de croisement définirait deux solutions d'un même problème de Cauchy. C'est ce qui donne aux portraits de phase leur allure de courbes emboîtées, sans jamais d'intersection.

4.2 Résolution par diagonalisation

4.2.1 Le découplage

ImportantLa méthode, en trois temps

Supposons $A$ diagonalisable, $A = P D P^{- 1}$ avec $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ .

Changer d'inconnue : poser $Y = P^{- 1} X$ , c'est-à-dire $X = P Y$ . Alors

$X^{'} = A X ⟺ P Y^{'} = P D P^{- 1} P Y ⟺ Y^{'} = D Y .$

Résoudre le système découplé : $Y^{'} = D Y$ s'écrit $y_{i}^{'} = λ_{i} y_{i}$ pour chaque $i$ , dont les solutions sont $y_{i} (t) = c_{i} e^{λ_{i} t}$ , avec $c_{i} \in R$ .
Revenir : $X = P Y$ .

Exemple 4.4Une résolution complète

Résolvons $X^{'} = A X$ avec $A = (1221)$ et $X (0) = (31)$ .

Diagonalisation. $A$ est symétrique donc diagonalisable. On a $A (11) = 3 (11)$ et $A (1 - 1) = - (1 - 1)$ , d'où $λ_{1} = 3$ , $λ_{2} = - 1$ .

Solution générale. Toute solution s'écrit

$X (t) = c_{1} e^{3 t} (11) + c_{2} e^{- t} (1 - 1) .$

Condition initiale. En $t = 0$ : $c_{1} (11) + c_{2} (1 - 1) = (31)$ , soit $c_{1} + c_{2} = 3$ et $c_{1} - c_{2} = 1$ : $c_{1} = 2$ , $c_{2} = 1$ . Donc

$X (t) = 2 e^{3 t} (11) + e^{- t} (1 - 1), c’est- a ˋ -dire {x_{1} (t) = 2 e^{3 t} + e^{- t} x_{2} (t) = 2 e^{3 t} - e^{- t} .$

Vérification. En $t = 0$ : $(2 + 1, 2 - 1) = (3, 1)$ . Et $x_{1}^{'} = 6 e^{3 t} - e^{- t}$ , tandis que $x_{1} + 2 x_{2} = 2 e^{3 t} + e^{- t} + 4 e^{3 t} - 2 e^{- t} = 6 e^{3 t} - e^{- t}$ . Les deux coïncident.

iRemarqueLa plus grande valeur propre finit par tout dicter

Dans $X (t) = \sum c_{i} e^{λ_{i} t} V_{i}$ , divisons par $e^{λ_{m a x} t}$ où $λ_{m a x}$ est la plus grande valeur propre présente. Tous les autres termes portent alors $e^{(λ_{i} - λ_{m a x}) t}$ , avec un exposant négatif : ils tendent vers $0$ . La trajectoire s'aligne donc, quand $t \to + \infty$ , sur la direction propre de $λ_{m a x}$ — quelle que soit la condition initiale, pourvu que le coefficient correspondant ne soit pas nul.

ImportantLa forme à retenir

Quand $A$ est diagonalisable de valeurs propres $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ et de vecteurs propres $V_{1}, \dots, V_{n}$ , la solution générale est

$X (t) = c_{1} e^{λ_{1} t} V_{1} + \dots + c_{n} e^{λ_{n} t} V_{n} .$

On n'écrit jamais $P$ ni $P^{- 1}$ : les vecteurs propres suffisent, et les constantes $c_{i}$ se déterminent par la condition initiale.

4.3 Comportement asymptotique, stabilité

Définition 4.5État d'équilibre

Une solution constante $X (t) = X_{e}$ est appelée état d'équilibre. Une telle solution vérifie $X^{'} = 0$ , donc $A X_{e} = 0$ : les états d'équilibre sont exactement les éléments de $ker (A)$ .

iRemarqueQuand l'équilibre est unique

Si $A$ est inversible, $ker (A) = {0}$ : le seul état d'équilibre est l'origine. Sinon — c'est-à-dire si $0 \in Sp (A)$ — il y a toute une droite, voire tout un plan, d'états d'équilibre.

◆Théorème 4.6Comportement des trajectoires

Soit $A$ diagonalisable, de valeurs propres $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ . Pour toute solution $X$ de $X^{'} = A X$ :

si $λ_{i} < 0$ pour tout $i$ , alors $X (t) \to 0$ quand $t \to + \infty$ : l'origine est un équilibre stable ;
s'il existe $i$ avec $λ_{i} > 0$ , alors les solutions dont la composante correspondante est non nulle sont non bornées ;
si les valeurs propres sont de signes opposés, l'origine est un point selle : les trajectoires s'approchent selon les directions propres négatives et s'échappent selon les positives.

Exemple 4.7Le marché revient-il à l'équilibre ?

Reprenons $A = (0 0, 8 - 0, 5 - 1, 3)$ . On vérifie que $(1 1, 6)$ et $(11)$ sont vecteurs propres :

$A (1 1, 6) = (- 0, 8 - 1, 28) = - 0, 8 (1 1, 6), A (11) = (- 0, 5 - 0, 5) = - 0, 5 (11) .$

Les deux valeurs propres $- 0, 8$ et $- 0, 5$ sont strictement négatives : toute trajectoire tend vers $0$ . Le marché revient à l'équilibre, et il le fait au rythme de la valeur propre la plus proche de $0$ , ici $- 0, 5$ — c'est elle qui s'éteint le plus lentement, donc elle qui dicte la vitesse finale.

4.4 Équation scalaire d'ordre 2 et système d'ordre 1

◆Théorème 4.8Équivalence

Soient $a, b \in R$ . La fonction $x$ est solution de l'équation scalaire

$x^{''} = a x^{'} + b x$

si et seulement si la colonne $X = (x x^{'})$ est solution du système

$X^{'} = A X, A = (0 b 1 a) .$

Démonstration

Posons $X = (x x^{'})$ . Alors $X^{'} = (x^{'} x^{''})$ , et $A X = (x^{'} b x + a x^{'})$ . Les deux colonnes sont égales si et seulement si la première ligne est vraie — ce qu'elle est toujours — et la seconde s'écrit $x^{''} = a x^{'} + b x$ .

AttentionL'ordre des lignes de la matrice compagnon

La seconde ligne de $A$ lit l'équation $x^{''} = a x^{'} + b x$ dans cet ordre : le coefficient de $x$ vient en première colonne, celui de $x^{'}$ en seconde. D'où $(0 b 1 a)$ , et non $(0 a 1 b)$ . L'inversion est l'erreur la plus fréquente ; elle se détecte en recalculant la seconde ligne du produit $A X$ et en la comparant à $x^{''}$ .

Exemple 4.9Retrouver les solutions de première année

Prenons $x^{''} = - x^{'} + 2 x$ , soit $a = - 1$ et $b = 2$ . La matrice associée est $A = (02 1 - 1)$ . On vérifie que $(11)$ et $(1 - 2)$ sont vecteurs propres, pour $1$ et $- 2$ :

$A (11) = (11), A (1 - 2) = (- 2 4) = - 2 (1 - 2) .$

Donc $X (t) = c_{1} e^{t} (11) + c_{2} e^{- 2 t} (1 - 2)$ , et en lisant la première coordonnée :

$x (t) = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 2 t} .$

C'est exactement la forme obtenue en première année, où $1$ et $- 2$ étaient les racines de $r^{2} + r - 2 = 0$ . Les valeurs propres de la matrice sont les racines de l'équation caractéristique scalaire — le même calcul, vu autrement.

Python : Résoudre, et vérifier sur la solution


import numpy as np

A = np.array([[1., 2.], [2., 1.]])
vp, V = np.linalg.eig(A)
print(vp)                              # [ 3. -1.]

# X(t) = 2 e^{3t} (1,1) + e^{-t} (1,-1)
def X(t):
    return (2*np.exp(3*t)*np.array([1., 1.])
            + np.exp(-t)*np.array([1., -1.]))

t, h = 0.7, 1e-6
derivee = (X(t+h) - X(t-h)) / (2*h)    # derivee numerique
print(np.allclose(derivee, A @ X(t), atol=1e-5))   # True
print(X(0.))                      # [3. 1.]   <- la condition initiale

La dérivée numérique confronte la solution proposée à l'équation elle-même : si $X^{'} (t)$ et $A X (t)$ coïncident en un point tiré au hasard, la formule est bonne.

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