Systèmes différentiels linéaires

Cours · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 4 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le portrait de phase d'un système différentiel linéaire : les trajectoires spiralent vers l'équilibre.

La première année a résolu les équations différentielles $y^{'} = a y + b$ et les équations d'ordre $2$ à coefficients constants. Il s'agissait à chaque fois d'une fonction inconnue. Or les situations économiques en font intervenir plusieurs à la fois, et qui s'influencent : le prix d'un bien dépend de la quantité offerte, laquelle réagit au prix. Deux fonctions, deux équations, et chacune fait intervenir l'autre.

C'est un système différentiel. Ce chapitre montre qu'il s'écrit $X^{'} = A X$ , et surtout que la diagonalisation du chapitre 3 le découple : dans une base de vecteurs propres, les inconnues cessent de s'influencer, chacune suit sa propre exponentielle, et l'on n'a plus qu'à traduire le résultat.

AttentionL'exponentielle de matrice n'est pas au programme

On rencontre parfois la solution écrite $X (t) = e^{t A} X_{0}$ . Cette notation n'est pas au programme d'ECG et ne doit pas être employée. La seule méthode attendue est la diagonalisation, en taille $2$ ou $3$ , avec les valeurs propres fournies ou faciles à obtenir.

4.1 D'où viennent ces systèmes

4.1.1 Un exemple économique

Exemple 4.1Offre, demande et ajustement du prix

Notons $p (t)$ l'écart du prix d'un bien à son prix d'équilibre, et $s (t)$ l'écart du stock détenu par les producteurs. Un modèle simple d'ajustement s'écrit :

le prix baisse quand le stock est excédentaire : $p^{'} = - 0, 5 s$ ;
le stock augmente quand le prix est élevé, car l'offre suit : $s^{'} = 0, 8 p - 1, 3 s$ .

Soit, matriciellement,

$X^{'} = A X, X = (p s), A = (0 0, 8 - 0, 5 - 1, 3) .$

La question de l'économiste — le marché revient-il à l'équilibre ? — est exactement la question du mathématicien : $X (t)$ tend-il vers $0$ ?

4.1.2 Le cadre

Définition 4.2Système différentiel linéaire à coefficients constants

Soit $A \in M_{n} (R)$ . On appelle système différentiel linéaire à coefficients constants le problème consistant à trouver les fonctions $X : R \to M_{n, 1} (R)$ , dérivables, vérifiant

$X^{'} (t) = A X (t) pour tout t \in R,$

où $X^{'}$ désigne la colonne des dérivées des coordonnées de $X$ .

◆Théorème 4.3Problème de Cauchy

Soient $A \in M_{n} (R)$ , $t_{0} \in R$ et $X_{0} \in M_{n, 1} (R)$ . Le problème

${X^{'} = A X X (t_{0}) = X_{0}$

admet une unique solution, définie sur $R$ tout entier.

iRemarqueRésultat admis

Le programme admet ce théorème. Sa portée est considérable : deux trajectoires distinctes ne peuvent jamais se croiser, puisque le point de croisement définirait deux solutions d'un même problème de Cauchy. C'est ce qui donne aux portraits de phase leur allure de courbes emboîtées, sans jamais d'intersection.

Exercices du chapitre

Un système déjà découplé corrigé
Vérifier des vecteurs propres corrigé
Une condition initiale à ajuster corrigé
Un système couplé, de bout en bout corrigé
Un système $3 \times 3$ corrigé
Un système triangulaire d’ordre trois corrigé

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