Exercices corrigés — Systèmes différentiels linéaires (mathématiques appliquées (ECG 2e année))

35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

Résolution par diagonalisation

• Un système déjà découplé
• Vérifier des vecteurs propres
• Une condition initiale à ajuster
• Un système couplé, de bout en bout
• Un système $3\times 3$
• Un système triangulaire d’ordre trois

Équation scalaire d’ordre deux

• Une équation d'ordre 2
• Une équation d’ordre deux avec conditions initiales

Stabilité et portrait de phase

• Stable ou non ?
• Deux valeurs propres opposées
• Un paramètre qui décide de la stabilité
• Un état d'équilibre non nul

Modèles et cas non diagonalisable

• Le modèle d'ajustement du marché
• Deux comptes qui s’échangent un capital
• Une matrice non diagonalisable

Résolution de systèmes différentiels

• Un système couplé et sa direction dominante Exercice d'entraînement
• Remonter de la solution au système Exercice d'entraînement
• Trois fonctions qui s'influencent toutes Exercice d'entraînement
• La direction que toute trajectoire finit par prendre Exercice d'entraînement

Équation scalaire d'ordre deux

• Une équation d'ordre deux ramenée à un système Exercice d'entraînement
• Pourquoi les valeurs propres sont les bonnes racines Exercice d'entraînement
• Une équation d'ordre deux dont la matrice résiste Exercice d'entraînement

Stabilité, équilibres et comportement asymptotique

• Un point selle, et ses deux directions Exercice d'entraînement
• La valeur propre la plus lente commande la fin Exercice d'entraînement
• Deux trajectoires ne se croisent jamais Exercice d'entraînement
• Décider de la stabilité sans chercher les vecteurs propres Exercice d'entraînement
• Toutes bornées, ou pas du tout Exercice d'entraînement

Écrire et vérifier

• Passer des équations à la matrice, et retour Exercice supplémentaire
• Vérifier qu'une fonction est solution Exercice supplémentaire
• Les états d'équilibre Exercice supplémentaire

Solution générale et condition initiale

• Écrire la solution générale Exercice supplémentaire
• Ajuster les constantes à la condition initiale Exercice supplémentaire
• Lire un comportement sur une formule Exercice supplémentaire

Ordre deux et matrice compagnon

• La matrice compagnon d'une équation d'ordre deux Exercice supplémentaire
• De deux valeurs propres à la forme des solutions Exercice supplémentaire

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