Comparaison, développements limités et suites récurrentes

Cours · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 5 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Diagramme en toile d'une suite récurrente qui converge vers le point fixe, intersection de la courbe et de la droite y = x.

Savoir qu'une suite tend vers l'infini ne dit pas grand-chose : $n$ , $n^{2}$ et $2^{n}$ y vont toutes, et pourtant elles n'y vont pas du tout de la même façon. Ce chapitre installe le vocabulaire qui permet de le dire — négligeable devant, équivalent à — puis l'applique à trois objets : les suites, les fonctions, et les suites définies par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , dont l'étude occupe toute la seconde moitié.

AttentionLes développements limités s'arrêtent à l'ordre 2

Le programme est très restrictif : « les développements limités ne seront présentés qu'à l'ordre au plus 2 », et les seuls exigibles concernent $e^{x}$ , $ln (1 + x)$ et $(1 + x)^{α}$ au voisinage de $0$ . « Aucune connaissance (somme, produit, composition…) concernant les techniques de calcul des développements limités n'est exigible. » On ne composera donc jamais deux développements.

5.1 Comparaison des suites

5.1.1 Négligeabilité et équivalence

Définition 5.1Suite négligeable, suites équivalentes

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles, avec $v_{n} \neq = 0$ à partir d'un certain rang.

$(u_{n})$ est négligeable devant $(v_{n})$ , noté $u_{n} = o (v_{n})$ , lorsque $\frac{u _{n}}{v _{n}} n \to + \infty 0$ .
$(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont équivalentes, noté $u_{n} \sim v_{n}$ , lorsque $\frac{u _{n}}{v _{n}} n \to + \infty 1$ .

AttentionÉquivalent ne veut pas dire proche

$n^{2} + n \sim n^{2}$ , et pourtant leur différence $n$ tend vers l'infini. L'équivalence porte sur le quotient, jamais sur l'écart. Deux suites équivalentes peuvent s'éloigner autant qu'on veut l'une de l'autre.

Proposition 5.2Ce qu'on a le droit de faire

Si $u_{n} \sim v_{n}$ et $a_{n} \sim b_{n}$ , alors

$u_{n} a_{n} \sim v_{n} b_{n}, \frac{u _{n}}{a _{n}} \sim \frac{v _{n}}{b _{n}}, u_{n}^{p} \sim v_{n}^{p} (p \in Z) .$

En particulier, $u_{n} \sim v_{n}$ entraîne que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ont la même limite, et le même signe à partir d'un certain rang.

AttentionCe qu'on n'a jamais le droit de faire

On n'additionne pas des équivalents, et on ne compose pas par $ln$ ou $exp$ . Contre-exemple : $n + 1 \sim n$ et $- n \sim - n$ , mais $(n + 1) + (- n) = 1$ n'est pas équivalent à $n + (- n) = 0$ . Et $n + 1 \sim n$ alors que $e^{n + 1} = e \cdot e^{n}$ n'est pas équivalent à $e^{n}$ .

◆Théorème 5.3Croissances comparées, en notation

o

Pour tous réels $α > 0$ , $β > 0$ et $q > 1$ :

$(ln n)^{β} = o (n^{α}), n^{α} = o (q^{n}), q^{n} = o (n!) .$

Exercices du chapitre

Des équivalents simples corrigé
Une limite par croissances comparées corrigé
Un équivalent qui donne une limite corrigé
Une puissance dont l'exposant varie corrigé
Une équivalence à ne pas composer corrigé
Comparer deux suites corrigé

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