Comparaison, développements limités et suites récurrentes

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 5 · prépa ECG, 2e année

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Savoir qu'une suite tend vers l'infini ne dit pas grand-chose : $n$ , $n^{2}$ et $2^{n}$ y vont toutes, et pourtant elles n'y vont pas du tout de la même façon. Ce chapitre installe le vocabulaire qui permet de le dire — négligeable devant, équivalent à — puis l'applique à trois objets : les suites, les fonctions, et les suites définies par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , dont l'étude occupe toute la seconde moitié.

AttentionLes développements limités s'arrêtent à l'ordre 2

Le programme est très restrictif : « les développements limités ne seront présentés qu'à l'ordre au plus 2 », et les seuls exigibles concernent $e^{x}$ , $ln (1 + x)$ et $(1 + x)^{α}$ au voisinage de $0$ . « Aucune connaissance (somme, produit, composition…) concernant les techniques de calcul des développements limités n'est exigible. » On ne composera donc jamais deux développements.

5.1 Comparaison des suites

5.1.1 Négligeabilité et équivalence

Définition 5.1Suite négligeable, suites équivalentes

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles, avec $v_{n} \neq = 0$ à partir d'un certain rang.

$(u_{n})$ est négligeable devant $(v_{n})$ , noté $u_{n} = o (v_{n})$ , lorsque $\frac{u _{n}}{v _{n}} n \to + \infty 0$ .
$(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont équivalentes, noté $u_{n} \sim v_{n}$ , lorsque $\frac{u _{n}}{v _{n}} n \to + \infty 1$ .

AttentionÉquivalent ne veut pas dire proche

$n^{2} + n \sim n^{2}$ , et pourtant leur différence $n$ tend vers l'infini. L'équivalence porte sur le quotient, jamais sur l'écart. Deux suites équivalentes peuvent s'éloigner autant qu'on veut l'une de l'autre.

Proposition 5.2Ce qu'on a le droit de faire

Si $u_{n} \sim v_{n}$ et $a_{n} \sim b_{n}$ , alors

$u_{n} a_{n} \sim v_{n} b_{n}, \frac{u _{n}}{a _{n}} \sim \frac{v _{n}}{b _{n}}, u_{n}^{p} \sim v_{n}^{p} (p \in Z) .$

En particulier, $u_{n} \sim v_{n}$ entraîne que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ont la même limite, et le même signe à partir d'un certain rang.

AttentionCe qu'on n'a jamais le droit de faire

On n'additionne pas des équivalents, et on ne compose pas par $ln$ ou $exp$ . Contre-exemple : $n + 1 \sim n$ et $- n \sim - n$ , mais $(n + 1) + (- n) = 1$ n'est pas équivalent à $n + (- n) = 0$ . Et $n + 1 \sim n$ alors que $e^{n + 1} = e \cdot e^{n}$ n'est pas équivalent à $e^{n}$ .

◆Théorème 5.3Croissances comparées, en notation

o

Pour tous réels $α > 0$ , $β > 0$ et $q > 1$ :

$(ln n)^{β} = o (n^{α}), n^{α} = o (q^{n}), q^{n} = o (n!) .$

Exemple 5.4Un comportement asymptotique

Étudions $u_{n} = \frac{3 n ^{2} + ln n}{n ^{2} - 5 n}$ . Au numérateur, $ln n = o (n^{2})$ , donc $3 n^{2} + ln n \sim 3 n^{2}$ . Au dénominateur, $5 n = o (n^{2})$ , donc $n^{2} - 5 n \sim n^{2}$ . Le quotient d'équivalents étant permis,

$u_{n} \sim \frac{3 n ^{2}}{n ^{2}} = 3, donc u_{n} \to 3.$

5.2 Suites récurrentes du type $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Définition 5.5Point fixe

Un réel $ℓ$ est un point fixe de $f$ lorsque $f (ℓ) = ℓ$ .

◆Théorème 5.6La limite est un point fixe

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Si $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ et si $f$ est continue en $ℓ$ , alors $f (ℓ) = ℓ$ .

Démonstration

$u_{n + 1} \to ℓ$ puisque c'est la même suite décalée. Par continuité de $f$ en $ℓ$ , $f (u_{n}) \to f (ℓ)$ . Or $f (u_{n}) = u_{n + 1} \to ℓ$ . Par unicité de la limite, $f (ℓ) = ℓ$ .

ImportantCe que le théorème ne dit pas

Il ne dit pas que la suite converge. Il dit : si elle converge, alors la limite est parmi les points fixes. C'est un outil pour identifier la limite, jamais pour prouver qu'elle existe — la convergence se démontre autrement, le plus souvent par monotonie et bornitude.

ImportantLa marche à suivre, quand

f

est croissante

Si $f$ est croissante sur un intervalle stable $I$ contenant $u_{0}$ , alors $(u_{n})$ est monotone : elle croît si $u_{1} ⩾ u_{0}$ , décroît sinon. Il suffit alors de la borner pour conclure à la convergence, puis d'identifier la limite parmi les points fixes. C'est le schéma de presque tous les exercices.

Python : Voir une suite récurrente converger


def suite(f, u0, n):
    u = [u0]
    for _ in range(n):
        u.append(f(u[-1]))
    return u

f = lambda x: 0.5*x + 1
u = suite(f, 0.35, 8)
print([round(x, 4) for x in u])
# [0.35, 1.175, 1.5875, 1.7937, 1.8969,
#  1.9484, 1.9742, 1.9871, 1.9936]

Les valeurs se rapprochent de $2$ en divisant l'écart par $2$ à chaque pas : c'est le coefficient $0, 5$ de $f$ , et l'on retrouve la géométrie de la toile d'araignée.

5.3 Comparaison des fonctions et développements limités

5.3.1 Au voisinage d'un point

Définition 5.7Négligeabilité et équivalence de fonctions

Soient $f$ et $g$ définies au voisinage de $x_{0}$ , avec $g$ ne s'annulant pas (sauf peut-être en $x_{0}$ ).

$f = o (g) en x_{0} ⟺ \frac{f ( x )}{g ( x )} x \to x_{0} 0, f \sim g en x_{0} ⟺ \frac{f ( x )}{g ( x )} x \to x_{0} 1.$

Proposition 5.8Équivalents usuels en

0

$e^{x} - 1 \sim x, ln (1 + x) \sim x, (1 + x)^{α} - 1 \sim α x .$

AttentionLes mêmes interdits qu'avec les suites

On n'additionne pas des équivalents, et on ne compose pas par $ln$ ni $exp$ . La composition par une puissance entière est en revanche autorisée : $f \sim g$ entraîne $f^{p} \sim g^{p}$ pour $p \in Z$ .

5.3.2 Développements limités

Définition 5.9Développement limité

Soit $f$ définie au voisinage de $x_{0}$ . On dit que $f$ admet un développement limité d'ordre 2 en $x_{0}$ lorsqu'il existe des réels $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ tels que

$f (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + (x - x_{0})^{2} ε (x), ε (x) x \to x_{0} 0.$

Un développement d'ordre $1$ s'obtient en supprimant le terme en $a_{2}$ .

◆Théorème 5.10Formule de Taylor-Young, unicité

Si $f$ est de classe $C^{2}$ au voisinage de $x_{0}$ , elle admet un développement limité d'ordre $2$ en $x_{0}$ , et il est unique :

$a_{0} = f (x_{0}), a_{1} = f^{'} (x_{0}), a_{2} = \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2} .$

iRemarqueRésultats admis

Le programme admet l'existence comme l'unicité. L'unicité est ce qui autorise à parler du développement d'une fonction : quelle que soit la façon dont on l'obtient, on tombe sur les mêmes trois coefficients.

Proposition 5.11Les trois développements exigibles, en 0

$e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + x^{2} ε (x), ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + x^{2} ε (x),$

$(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α ( α - 1 )}{2} x^{2} + x^{2} ε (x) .$

◆Théorème 5.12Allure locale du graphe

Supposons $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + (x - x_{0})^{2} ε (x)$ avec $a_{2} \neq = 0$ . Alors, au voisinage de $x_{0}$ , le graphe de $f$ est situé

au-dessus de sa tangente si $a_{2} > 0$ ;
au-dessous de sa tangente si $a_{2} < 0$ .

Démonstration

La différence entre le graphe et la tangente $y = a_{0} + a_{1} (x - x_{0})$ vaut $(x - x_{0})^{2} (a_{2} + ε (x))$ . Le facteur $(x - x_{0})^{2}$ est positif, et $a_{2} + ε (x)$ a le signe de $a_{2}$ au voisinage de $x_{0}$ , puisque $ε$ y tend vers $0$ .

Exemple 5.13Une étude locale complète

Soit $f (x) = ln (1 + x)$ au voisinage de $0$ . Son développement d'ordre $2$ est $x - \frac{x ^{2}}{2} + x^{2} ε (x)$ , donc $a_{0} = 0$ , $a_{1} = 1$ , $a_{2} = - \frac{1}{2} < 0$ . La tangente en $0$ est $y = x$ , et le graphe de $ln (1 + x)$ est au-dessous d'elle au voisinage de $0$ .

On retrouve un résultat de première année : $ln (1 + x) ⩽ x$ . Le développement limité en donne d'un coup la raison locale — le coefficient $- \frac{1}{2}$ — là où l'inégalité globale demandait une étude de fonction.

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