Compléments sur les séries et intégrales généralisées

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 6 · prépa ECG, 2e année

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Additionner une infinité de termes, intégrer sur un intervalle infini : les deux opérations posent la même question — cela a-t-il un sens ? — et se traitent par les mêmes outils, la comparaison à des objets de référence.

Ce chapitre n'est pas une fin en soi. Le programme le dit sans détour : « l'étude des séries ne s'applique que dans le cadre de l'étude de variables aléatoires discrètes », et « les intégrales généralisées sont introduites dans ce programme comme outil pour l'étude des variables aléatoires à densité ». Tout ce qui suit sert aux chapitres 8, 11 et 12.

AttentionLes techniques de calcul restent sur un segment

Le programme est explicite : « les techniques de calcul (intégration par parties, changement de variables non affine) ne seront pratiquées qu'avec des intégrales sur un segment ». Sur une intégrale généralisée, on calcule d'abord sur $[a, x]$ , puis on fait tendre $x$ vers l'infini. Jamais l'inverse.

6.1 Séries à termes positifs

6.1.1 Rappel et vocabulaire

Définition 6.1Série, somme partielle, convergence

Soit $(u_{n})$ une suite réelle. La somme partielle d'ordre $N$ est $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} u_{n}$ . La série $\sum u_{n}$ converge lorsque la suite $(S_{N})$ converge ; sa limite est alors notée $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ .

◆Théorème 6.2Le cas des termes positifs

Si $u_{n} ⩾ 0$ pour tout $n$ , la suite $(S_{N})$ est croissante. Donc

$\sum u_{n} converge ⟺ (S_{N}) est major e ˊ e.$

6.1.2 Les séries de Riemann

◆Théorème 6.3Séries de Riemann

Soit $α \in R$ . La série $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ .

ImportantLes deux cas extrêmes à connaître

$α = 1$ donne la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ , qui diverge — bien que son terme tende vers $0$ . $α = 2$ donne $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ , qui converge. La frontière est en $α = 1$ , et elle est du mauvais côté : $α = 1$ diverge.

6.1.3 Comparaison

◆Théorème 6.4Règles de comparaison, termes positifs

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites positives.

Si $u_{n} ⩽ v_{n}$ à partir d'un certain rang : $\sum v_{n}$ converge $\Rightarrow$ $\sum u_{n}$ converge ; $\sum u_{n}$ diverge $\Rightarrow$ $\sum v_{n}$ diverge.
Si $u_{n} = o (v_{n})$ : $\sum v_{n}$ converge $\Rightarrow$ $\sum u_{n}$ converge.
Si $u_{n} \sim v_{n}$ : les deux séries sont de même nature.

AttentionLa positivité n'est pas décorative

Ces règles sont fausses sans l'hypothèse de positivité. C'est la croissance des sommes partielles qui les fait fonctionner, et elle disparaît dès qu'un terme change de signe.

Exemple 6.5Trois natures décidées en une ligne

$\sum \frac{1}{n ^{2} + n}$ : le terme est $\sim \frac{1}{n ^{2}}$ , série de Riemann avec $α = 2 > 1$ . Converge.
$\sum \frac{n + 1}{n ^{2} + 3}$ : le terme est $\sim \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n}$ , série harmonique. Diverge.
$\sum \frac{ln n}{n ^{3}}$ : $ln n = o (n^{1/2})$ , donc le terme est $o (\frac{1}{n ^{5/2}})$ , et $\frac{5}{2} > 1$ . Converge.

Exemple 6.6Une somme télescopique

$n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ( n + 1 )}$ . On écrit $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ , donc

$S_{N} = n = 1 \sum N (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{N + 1} N \to + \infty 1.$

La série converge et sa somme vaut exactement $1$ . C'est l'un des rares cas où l'on obtient la somme, et non seulement la nature.

6.2 Intégrales sur un intervalle non borné

6.2.1 Définition

Définition 6.7Intégrale généralisée

Soit $f$ continue sur $[a, + \infty [$ . On dit que $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ converge lorsque

$x \to + \infty lim \int_{a}^{x} f (t) d t$

existe et est finie ; cette limite est alors la valeur de l'intégrale. On définit de même $\int_{- \infty}^{b}$ , et $\int_{- \infty}^{+ \infty}$ en coupant en deux morceaux qui doivent converger tous les deux.

◆Théorème 6.8Intégrales de référence

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α}} converge ⟺ α > 1, \int_{0}^{+ \infty} e^{- α t} d t converge ⟺ α > 0.$

Dans le second cas, la valeur est $\frac{1}{α}$ .

Démonstration

Pour la seconde : $\int_{0}^{x} e^{- α t} d t = [- \frac{1}{α} e^{- α t}]_{0}^{x} = \frac{1}{α} (1 - e^{- α x})$ , qui tend vers $\frac{1}{α}$ si $α > 0$ . Le calcul est fait sur le segment $[0, x]$ , puis on passe à la limite.

6.2.2 Fonctions positives

◆Théorème 6.9Critère de majoration

Soit $f$ continue et positive sur $[a, + \infty [$ . Alors $\int_{a}^{+ \infty} f$ converge si et seulement si la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est majorée sur $[a, + \infty [$ .

◆Théorème 6.10Règles de comparaison

Soient $f$ et $g$ continues et positives au voisinage de $+ \infty$ .

Si $f ⩽ g$ : $\int g$ converge $\Rightarrow$ $\int f$ converge.
Si $f = o (g)$ : $\int g$ converge $\Rightarrow$ $\int f$ converge.
Si $f \sim g$ : les deux intégrales sont de même nature.

Exemple 6.11Deux natures par comparaison

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2} + t}$ : l'intégrande est positif et $\sim \frac{1}{t ^{2}}$ en $+ \infty$ , intégrale de Riemann avec $α = 2 > 1$ . Converge.
$\int_{1}^{+ \infty} \frac{t + 1}{t ^{2} + 3} d t$ : l'intégrande est $\sim \frac{1}{t}$ . Diverge.

6.2.3 Convergence absolue

Définition 6.12Convergence absolue

$\int_{a}^{+ \infty} f$ converge absolument lorsque $\int_{a}^{+ \infty} ∣ f ∣$ converge.

◆Théorème 6.13La convergence absolue suffit

Si $\int_{a}^{+ \infty} f$ converge absolument, alors elle converge.

iRemarquePourquoi cette notion est au programme

Le programme le dit sans détour : « cette notion est abordée uniquement pour permettre une définition de l'espérance d'une variable aléatoire à densité ». On la retrouvera au chapitre 11 : $X$ admet une espérance si et seulement si $\int_{- \infty}^{+ \infty} t f_{X} (t) d t$ converge absolument.

Python : Vérifier une nature par le calcul numérique


def somme_partielle(u, N):
    return sum(u(n) for n in range(1, N+1))

harmonique = lambda n: 1/n
riemann2   = lambda n: 1/n**2

for N in (10, 100, 1000, 10000):
    print(N, round(somme_partielle(harmonique, N), 4),
             round(somme_partielle(riemann2, N), 6))
# 10     2.9290   1.549768
# 100    5.1874   1.634984
# 1000   7.4855   1.643935
# 10000  9.7876   1.644834

La première colonne grandit sans se stabiliser — lentement, comme $ln N$ ; la seconde se fige autour de $1, 6449$ . Le numérique suggère la nature, il ne la démontre jamais : une divergence en $ln N$ est indiscernable d'une convergence lente sur un écran.

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