Compléments sur les séries et intégrales généralisées

Cours · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 6 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'aire sous la courbe de 1/x² à partir de 1 reste finie alors que l'intervalle est infini.

Additionner une infinité de termes, intégrer sur un intervalle infini : les deux opérations posent la même question — cela a-t-il un sens ? — et se traitent par les mêmes outils, la comparaison à des objets de référence.

Ce chapitre n'est pas une fin en soi. Le programme le dit sans détour : « l'étude des séries ne s'applique que dans le cadre de l'étude de variables aléatoires discrètes », et « les intégrales généralisées sont introduites dans ce programme comme outil pour l'étude des variables aléatoires à densité ». Tout ce qui suit sert aux chapitres 8, 11 et 12.

AttentionLes techniques de calcul restent sur un segment

Le programme est explicite : « les techniques de calcul (intégration par parties, changement de variables non affine) ne seront pratiquées qu'avec des intégrales sur un segment ». Sur une intégrale généralisée, on calcule d'abord sur $[a, x]$ , puis on fait tendre $x$ vers l'infini. Jamais l'inverse.

6.1 Séries à termes positifs

6.1.1 Rappel et vocabulaire

Définition 6.1Série, somme partielle, convergence

Soit $(u_{n})$ une suite réelle. La somme partielle d'ordre $N$ est $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} u_{n}$ . La série $\sum u_{n}$ converge lorsque la suite $(S_{N})$ converge ; sa limite est alors notée $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ .

◆Théorème 6.2Le cas des termes positifs

Si $u_{n} ⩾ 0$ pour tout $n$ , la suite $(S_{N})$ est croissante. Donc

$\sum u_{n} converge ⟺ (S_{N}) est major e ˊ e.$

6.1.2 Les séries de Riemann

◆Théorème 6.3Séries de Riemann

Soit $α \in R$ . La série $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ .

ImportantLes deux cas extrêmes à connaître

$α = 1$ donne la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ , qui diverge — bien que son terme tende vers $0$ . $α = 2$ donne $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ , qui converge. La frontière est en $α = 1$ , et elle est du mauvais côté : $α = 1$ diverge.

Exercices du chapitre

Natures de séries corrigé
Deux séries à ne pas confondre corrigé
Une série qui dépend d'un paramètre corrigé
Une somme télescopique corrigé
Une somme qui se calcule par différence corrigé
Une intégrale de référence corrigé

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