Exercices corrigés — Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema (mathématiques appliquées (ECG 2e année))
35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Dérivées partielles, gradient et hessienne
Points critiques et nature
- Un point critique évident
- Nature par les valeurs propres
- Un maximum
- Somme et produit des valeurs propres
- Un col et un minimum
- Deux points critiques
Quand le critère d'ordre 2 ne tranche pas
Extrema sur un domaine fermé borné
Optimisation en économie
Gradient, hessienne et lignes de niveau
- Une exponentielle d'un produit Exercice d'entraînement
- Un gradient perpendiculaire à sa ligne de niveau Exercice d'entraînement
- Deux points critiques et une exponentielle Exercice d'entraînement
Points critiques et leur nature
- Un minimum global d'une forme du second degré Exercice d'entraînement
- Un col reconnu de deux façons Exercice d'entraînement
- Trois points critiques d'une fonction de degré 4 Exercice d'entraînement
- Toute une parabole de points critiques Exercice d'entraînement
Extrema sur une partie fermée bornée
- Sur un carré, le maximum est dans un coin Exercice d'entraînement
- Un produit sur le disque unité Exercice d'entraînement
- Un col au centre, les extrema sur les côtés Exercice d'entraînement
Optimisation appliquée
- Deux facteurs à rendement décroissant Exercice d'entraînement
- Un coût total à minimiser Exercice d'entraînement
Calculer un gradient et une hessienne
- Un gradient et une hessienne Application directe du cours
- Un gradient en un point Application directe du cours
- Vérifier le théorème de Schwarz Application directe du cours
Trouver les points critiques
- Un point critique et sa nature Application directe du cours
- Une fonction sans point critique Application directe du cours
Conclure sur la nature d'un point critique
- Lire une hessienne diagonale Application directe du cours
- Un produit négatif, donc un col Application directe du cours
- Un minimum lu sur deux nombres Application directe du cours