Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema

Cours · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 9 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les lignes de niveau d'une fonction de deux variables et son gradient, orthogonal à la ligne de niveau.

Une entreprise choisit un niveau de capital et un niveau de travail ; un investisseur répartit sa mise entre deux actifs ; un producteur fixe deux prix. Dans tous les cas, une grandeur à optimiser dépend de deux variables, et la dérivée d'une fonction d'une variable ne suffit plus.

Ce chapitre étend le calcul différentiel à deux variables, puis répond à la question qui l'a motivé : où se trouve le maximum, et comment le reconnaître ? La réponse fait appel au chapitre 3 — ce sont les valeurs propres d'une matrice qui trancheront.

AttentionLe domaine est

R^{2}

, et tout est admis

Le programme est catégorique sur deux points : « le domaine de définition sera systématiquement $R^{2}$ » dans les deux premiers paragraphes, et « tous les résultats concernant les fonctions réelles de deux variables réelles seront admis ». Aucune démonstration de continuité, aucun problème de domaine. Ce chapitre est un chapitre de méthode.

9.1 Continuité et lignes de niveau

Définition 9.1Distance et continuité

La distance euclidienne entre deux points de $R^{2}$ est

$d ((x, y), (x_{0}, y_{0})) = (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} .$

$f : R^{2} \to R$ est continue en $(x_{0}, y_{0})$ lorsque

$\forall ε > 0, \exists r > 0, \forall (x, y) \in R^{2}, d ((x, y), (x_{0}, y_{0})) < r ⟹ f (x, y) - f (x_{0}, y_{0}) < ε .$

◆Théorème 9.2Ce qui est continu

Les fonctions coordonnées $(x, y) \mapsto x$ et $(x, y) \mapsto y$ sont continues. Somme, produit et quotient (à dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus. Les fonctions polynomiales de deux variables sont continues sur $R^{2}$ . La composée d'une fonction continue à valeurs dans un intervalle $I$ par une fonction continue sur $I$ est continue.

Définition 9.3Ligne de niveau

La ligne de niveau $k$ de $f$ est ${(x, y) \in R^{2} ∣ f (x, y) = k}$ .

Exemple 9.4Une isoquante

Pour la fonction de production de Cobb-Douglas $f (K, L) = K^{0, 4} L^{0, 6}$ sur les valeurs strictement positives, la ligne de niveau $k$ s'écrit $L = (k K^{- 0, 4})^{1/0, 6}$ : une courbe décroissante et convexe, dite isoquante — l'ensemble des combinaisons capital-travail donnant la même production.

9.2 Dérivées partielles, gradient, hessienne

Définition 9.5Dérivées partielles d'ordre 1

$\partial_{1} f (x, y)$ est la dérivée en $x$ de la fonction partielle $t \mapsto f (t, y)$ , obtenue en gelant $y$ . De même $\partial_{2} f (x, y)$ en gelant $x$ . On dit que $f$ est de classe $C^{1}$ si ces deux dérivées existent et sont continues ; $f$ est alors continue.

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