Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 9 · prépa ECG, 2e année

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Une entreprise choisit un niveau de capital et un niveau de travail ; un investisseur répartit sa mise entre deux actifs ; un producteur fixe deux prix. Dans tous les cas, une grandeur à optimiser dépend de deux variables, et la dérivée d'une fonction d'une variable ne suffit plus.

Ce chapitre étend le calcul différentiel à deux variables, puis répond à la question qui l'a motivé : où se trouve le maximum, et comment le reconnaître ? La réponse fait appel au chapitre 3 — ce sont les valeurs propres d'une matrice qui trancheront.

AttentionLe domaine est

R^{2}

, et tout est admis

Le programme est catégorique sur deux points : « le domaine de définition sera systématiquement $R^{2}$ » dans les deux premiers paragraphes, et « tous les résultats concernant les fonctions réelles de deux variables réelles seront admis ». Aucune démonstration de continuité, aucun problème de domaine. Ce chapitre est un chapitre de méthode.

9.1 Continuité et lignes de niveau

Définition 9.1Distance et continuité

La distance euclidienne entre deux points de $R^{2}$ est

$d ((x, y), (x_{0}, y_{0})) = (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} .$

$f : R^{2} \to R$ est continue en $(x_{0}, y_{0})$ lorsque

$\forall ε > 0, \exists r > 0, \forall (x, y) \in R^{2}, d ((x, y), (x_{0}, y_{0})) < r ⟹ f (x, y) - f (x_{0}, y_{0}) < ε .$

◆Théorème 9.2Ce qui est continu

Les fonctions coordonnées $(x, y) \mapsto x$ et $(x, y) \mapsto y$ sont continues. Somme, produit et quotient (à dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus. Les fonctions polynomiales de deux variables sont continues sur $R^{2}$ . La composée d'une fonction continue à valeurs dans un intervalle $I$ par une fonction continue sur $I$ est continue.

Définition 9.3Ligne de niveau

La ligne de niveau $k$ de $f$ est ${(x, y) \in R^{2} ∣ f (x, y) = k}$ .

Exemple 9.4Une isoquante

Pour la fonction de production de Cobb-Douglas $f (K, L) = K^{0, 4} L^{0, 6}$ sur les valeurs strictement positives, la ligne de niveau $k$ s'écrit $L = (k K^{- 0, 4})^{1/0, 6}$ : une courbe décroissante et convexe, dite isoquante — l'ensemble des combinaisons capital-travail donnant la même production.

9.2 Dérivées partielles, gradient, hessienne

Définition 9.5Dérivées partielles d'ordre 1

$\partial_{1} f (x, y)$ est la dérivée en $x$ de la fonction partielle $t \mapsto f (t, y)$ , obtenue en gelant $y$ . De même $\partial_{2} f (x, y)$ en gelant $x$ . On dit que $f$ est de classe $C^{1}$ si ces deux dérivées existent et sont continues ; $f$ est alors continue.

Définition 9.6Gradient

$\nabla f (x, y) = (\partial_{1} f (x, y) \partial_{2} f (x, y)) .$

Définition 9.7Ordre 2, hessienne

$\partial_{1, 2}^{2} f = \partial_{1} (\partial_{2} f)$ , et de même pour les trois autres. $f$ est de classe $C^{2}$ si ces quatre dérivées existent et sont continues. La matrice hessienne est alors

$\nabla^{2} f (x, y) = (\partial_{1, 1}^{2} f (x, y) \partial_{2, 1}^{2} f (x, y) \partial_{1, 2}^{2} f (x, y) \partial_{2, 2}^{2} f (x, y)) .$

◆Théorème 9.8Théorème de Schwarz

Si $f$ est de classe $C^{2}$ sur $R^{2}$ , alors pour tout $(x, y)$ ,

$\partial_{1, 2}^{2} f (x, y) = \partial_{2, 1}^{2} f (x, y) .$

En particulier, la matrice hessienne est symétrique — donc diagonalisable, par le chapitre 3.

ImportantLe pont avec le chapitre 3

C'est cette phrase qui rend tout le chapitre possible. La hessienne est symétrique, donc elle a toujours deux valeurs propres réelles, et ce sont leurs signes qui décideront de la nature d'un point critique.

Exemple 9.9Gradient et hessienne

Soit $f (x, y) = x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} - 4 x$ . Alors

$\partial_{1} f = 2 x + 3 y - 4, \partial_{2} f = 3 x + 4 y,$

$\nabla^{2} f = (2334),$

constante ici — c'est le cas de toutes les fonctions polynomiales de degré $2$ . Elle est bien symétrique, conformément à Schwarz.

9.3 Recherche d'extrema

Définition 9.10Extrema

$f$ admet un maximum local en $(x_{0}, y_{0})$ s'il existe $r > 0$ tel que $f (x, y) ⩽ f (x_{0}, y_{0})$ pour tout point à distance moins de $r$ . Le maximum est global sur une partie $A$ si l'inégalité vaut pour tout point de $A$ .

◆Théorème 9.11Existence sur un fermé borné

Une fonction continue sur une partie fermée et bornée de $R^{2}$ est bornée et atteint ses bornes sur cette partie.

iRemarqueLa nature topologique sera toujours donnée

Le programme est explicite : « la détermination de la nature topologique d'un ensemble n'est pas un objectif du programme et devra toujours être indiquée ». Un énoncé dira donc « soit $A$ le disque fermé… », et l'on pourra appliquer le théorème sans le justifier.

◆Théorème 9.12Condition nécessaire d'ordre 1

Si $f$ est de classe $C^{1}$ sur un ouvert $O$ et admet un extremum local en $(x_{0}, y_{0}) \in O$ , alors

$\nabla f (x_{0}, y_{0}) = 0.$

Un tel point est appelé point critique.

◆Théorème 9.13Condition suffisante d'ordre 2

Soit $f$ de classe $C^{2}$ sur un ouvert $O$ et $(x_{0}, y_{0})$ un point critique. Notons $λ_{1}, λ_{2}$ les valeurs propres de $\nabla^{2} f (x_{0}, y_{0})$ .

Si $λ_{1} > 0$ et $λ_{2} > 0$ : minimum local.
Si $λ_{1} < 0$ et $λ_{2} < 0$ : maximum local.
Si $λ_{1}$ et $λ_{2}$ sont non nulles et de signes opposés : point col — pas d'extremum.

AttentionLe cas où une valeur propre est nulle

Si l'une des valeurs propres est nulle, le critère ne conclut pas. Il faut alors revenir à l'étude directe de $f$ au voisinage du point — le plus souvent en regardant $f$ le long de quelques droites bien choisies.

ImportantComment lire les signes sans diagonaliser

Pour une matrice symétrique $2 \times 2$ , la somme des coefficients diagonaux vaut $λ_{1} + λ_{2}$ et le produit $λ_{1} λ_{2}$ se lit directement. Si le produit est négatif, les signes sont opposés : c'est un col. S'il est positif, les deux valeurs propres ont le signe de cette somme. Un seul calcul suffit donc à conclure dans presque tous les cas.

Exemple 9.14Une recherche d'extrema complète

Soit $f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 3 x$ .

Points critiques. $\partial_{1} f = 2 x + y - 3$ et $\partial_{2} f = x + 2 y$ . Le système donne $x = - 2 y$ puis $- 4 y + y = 3$ , donc $y = - 1$ et $x = 2$ : unique point critique $(2, - 1)$ , où $f$ vaut $- 3$ .

Nature. $\nabla^{2} f = (2112)$ . On vérifie $(2112) (11) = 3 (11)$ et $(2112) (1 - 1) = (1 - 1)$ : les valeurs propres sont $3$ et $1$ , toutes deux strictement positives.

Conclusion. $f$ admet un minimum local en $(2, - 1)$ , de valeur $- 3$ . Il est même global : la hessienne étant constante et à valeurs propres positives, $f$ est convexe sur $R^{2}$ .

Python : Points critiques et nature


import numpy as np

H = np.array([[2., 1.], [1., 2.]])
print(np.linalg.eigvalsh(H))   # [1. 3.]  <- toutes deux > 0 : minimum

def f(x, y): return x**2 + x*y + y**2 - 3*x

print(f(2, -1))                        # -3.0
for dx in (-0.1, 0, 0.1):
    for dy in (-0.1, 0, 0.1):
        assert f(2+dx, -1+dy) >= f(2, -1) - 1e-12
print("minimum confirme au voisinage")

eigvalsh est la version pour matrices symétriques : elle rend des valeurs propres réelles triées. Le balayage du voisinage corrobore le critère — il ne le remplace pas, un pas de $0, 1$ ne prouvant rien.

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