Couples et suites de variables aléatoires discrètes

Cours complet · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 8 · prépa ECG, 2e année

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

Le chapitre 7 a mesuré le lien entre deux séries de données. On passe maintenant au lien entre deux variables aléatoires — c'est-à-dire entre deux grandeurs dont on connaît la loi et non les valeurs observées. Le vocabulaire est jumeau : covariance, corrélation. Le sens est différent : là-bas on décrivait un échantillon, ici on décrit un modèle.

Ce chapitre construit l'outillage qui rendra possibles les chapitres 10 et 12 : la loi d'un couple, l'indépendance, la variance d'une somme.

AttentionLes séries indexées par un ensemble dénombrable

Le programme lève d'entrée toute difficulté technique : « on admettra que toutes les manipulations (interversions de sommes, regroupements de termes, etc.) sont licites ». Aucune question de convergence ne sera soulevée sur les doubles sommes.

8.1 Loi d'un couple

8.1.1 Loi conjointe, lois marginales

Définition 8.1Loi d'un couple

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes. La loi conjointe du couple $(X, Y)$ est la donnée de $X (Ω)$ , $Y (Ω)$ et, pour tout $(x, y) \in X (Ω) \times Y (Ω)$ , de

$P ([X = x] \cap [Y = y]) .$

◆Théorème 8.2Lois marginales

Les lois de $X$ et de $Y$ se retrouvent en sommant :

$P ([X = x]) = y \in Y (Ω) \sum P ([X = x] \cap [Y = y]), P ([Y = y]) = x \in X (Ω) \sum P ([X = x] \cap [Y = y]) .$

Définition 8.3Lois conditionnelles

Pour $y$ tel que $P ([Y = y]) \neq = 0$ , la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = y]$ est donnée par

$P ([X = x] ∣ [Y = y]) = \frac{P ( [ X = x ] \cap [ Y = y ] )}{P ( [ Y = y ] )} .$

8.1.2 Transfert et linéarité

◆Théorème 8.4Théorème de transfert

Soit $g$ une fonction réelle définie sur $X (Ω) \times Y (Ω)$ . Alors, sous réserve de convergence absolue,

$E (g (X, Y)) = (x, y) \sum g (x, y) P ([X = x] \cap [Y = y]) .$

◆Théorème 8.5Linéarité, sans hypothèse

Si $X$ et $Y$ admettent une espérance, alors $X + Y$ aussi et

$E (X + Y) = E (X) + E (Y) .$

ImportantLa linéarité ne demande aucune indépendance

C'est le résultat le plus utile du chapitre, et le plus souvent mal employé. $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ est toujours vrai. En revanche $E (X Y) = E (X) E (Y)$ exige l'indépendance, et $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ aussi.

8.2 Indépendance

Définition 8.6Indépendance de deux variables discrètes

$X$ et $Y$ sont indépendantes lorsque, pour tout $(x, y) \in X (Ω) \times Y (Ω)$ ,

$P ([X = x] \cap [Y = y]) = P ([X = x]) P ([Y = y]) .$

◆Théorème 8.7Conséquences de l'indépendance

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une espérance :

$E (X Y) = E (X) E (Y), V (X + Y) = V (X) + V (Y) .$

◆Théorème 8.8Stabilité de deux lois usuelles

Si $X_{1} ↪ B (n_{1}, p)$ et $X_{2} ↪ B (n_{2}, p)$ sont indépendantes, alors $X_{1} + X_{2} ↪ B (n_{1} + n_{2}, p)$ .

Si $X_{1} ↪ P (λ_{1})$ et $X_{2} ↪ P (λ_{2})$ sont indépendantes, alors $X_{1} + X_{2} ↪ P (λ_{1} + λ_{2})$ .

AttentionLe paramètre

p

doit être le même

La stabilité binomiale exige le même $p$ . La somme d'une $B (3; 0, 2)$ et d'une $B (4; 0, 5)$ indépendantes n'est pas binomiale — elle n'a même pas de nom usuel. La loi de Poisson, elle, n'a qu'un paramètre : la contrainte disparaît.

◆Théorème 8.9Minimum et maximum

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes,

$P ([max (X, Y) ⩽ k]) = P ([X ⩽ k]) P ([Y ⩽ k]), P ([min (X, Y) > k]) = P ([X > k]) P ([Y > k]) .$

8.3 Covariance et variance d'une somme

Définition 8.10Covariance

Si $X$ et $Y$ admettent un moment d'ordre $2$ ,

$Cov (X, Y) = E ((X - E (X)) (Y - E (Y))) .$

◆Théorème 8.11Propriétés

Koenig-Huygens : $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ .
$Cov (X, X) = V (X)$ , et $Cov$ est symétrique.
Bilinéarité : $Cov (a X + b Z, Y) = a Cov (X, Y) + b Cov (Z, Y)$ .
Pour toute constante $a$ , $Cov (X, a) = 0$ .

◆Théorème 8.12Variance d'une somme

$V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y) .$

En particulier, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $Cov (X, Y) = 0$ et $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ .

Définition 8.13Coefficient de corrélation

Si $V (X) > 0$ et $V (Y) > 0$ ,

$ρ (X, Y) = \frac{Cov ( X , Y )}{σ ( X ) σ ( Y )}, et ρ (X, Y) ⩽ 1.$

L'égalité $∣ ρ ∣ = 1$ a lieu si et seulement s'il existe des réels $a \neq = 0$ et $b$ tels que $Y = a X + b$ presque sûrement.

AttentionCovariance nulle n'entraîne pas l'indépendance

La réciproque du théorème est fausse. Soit $X$ uniforme sur ${- 1, 0, 1}$ et $Y = X^{2}$ . Alors

$E (X) = 0, E (X Y) = E (X^{3}) = \frac{( - 1 ) + 0 + 1}{3} = 0,$

donc $Cov (X, Y) = 0 - 0 \times E (Y) = 0$ . Pourtant $Y$ est entièrement déterminée par $X$ : elles sont on ne peut moins indépendantes.

8.4 Suites de variables aléatoires

Définition 8.14Indépendance mutuelle

$X_{1}, \dots, X_{n}$ sont mutuellement indépendantes lorsque, pour tout $(x_{1}, \dots, x_{n})$ ,

$P (i = 1 ⋂ n [X_{i} = x_{i}]) = i = 1 \prod n P ([X_{i} = x_{i}]) .$

Une suite infinie est indépendante si toute sous-famille finie l'est.

AttentionDeux à deux ne suffit pas

L'indépendance mutuelle est strictement plus forte que l'indépendance deux à deux. Le programme n'emploie que la première, et c'est elle qu'il faut vérifier — ou, plus souvent, qu'un énoncé fournit.

◆Théorème 8.15Lemme des coalitions

Si $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont mutuellement indépendantes, alors toute variable aléatoire fonction de $X_{1}, \dots, X_{p}$ est indépendante de toute variable aléatoire fonction de $X_{p + 1}, \dots, X_{n}$ .

◆Théorème 8.16Somme de

n

variables

Si $X_{1}, \dots, X_{n}$ admettent une espérance, $E (\sum X_{i}) = \sum E (X_{i})$ — sans hypothèse.

Si de plus elles sont mutuellement indépendantes et admettent une variance,

$V (i = 1 \sum n X_{i}) = i = 1 \sum n V (X_{i}) .$

Python : Vérifier une covariance par simulation


import random

random.seed(1)
N = 400000
sx = sy = sxy = 0
for _ in range(N):
    x = random.choice([-1, 0, 1])
    y = x*x
    sx += x; sy += y; sxy += x*y

Ex, Ey, Exy = sx/N, sy/N, sxy/N
print(round(Ex,4), round(Ey,4), round(Exy - Ex*Ey, 4))
# proche de  0.0   0.6667   0.0

La covariance simulée est nulle, alors que $Y$ vaut $X^{2}$ à chaque tirage. La machine confirme ce que le contre-exemple annonce : covariance nulle et indépendance sont deux choses différentes.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices