Couples et suites de variables aléatoires discrètes
Cours · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 8 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Le chapitre 7 a mesuré le lien entre deux séries de données. On passe maintenant au lien entre deux variables aléatoires — c'est-à-dire entre deux grandeurs dont on connaît la loi et non les valeurs observées. Le vocabulaire est jumeau : covariance, corrélation. Le sens est différent : là-bas on décrivait un échantillon, ici on décrit un modèle.
Ce chapitre construit l'outillage qui rendra possibles les chapitres 10 et 12 : la loi d'un couple, l'indépendance, la variance d'une somme.
Le programme lève d'entrée toute difficulté technique : « on admettra que toutes les manipulations (interversions de sommes, regroupements de termes, etc.) sont licites ». Aucune question de convergence ne sera soulevée sur les doubles sommes.
8.1 Loi d'un couple
8.1.1 Loi conjointe, lois marginales
Soient et deux variables aléatoires discrètes. La loi conjointe du couple est la donnée de , et, pour tout , de
Les lois de et de se retrouvent en sommant :
Pour tel que , la loi conditionnelle de sachant est donnée par
8.1.2 Transfert et linéarité
Soit une fonction réelle définie sur . Alors, sous réserve de convergence absolue,
Si et admettent une espérance, alors aussi et
Exercices du chapitre
- Lois marginales corrigé
- Une loi conditionnelle corrigé
- Une loi conjointe à compléter corrigé
- Une covariance corrigé
- Les succès et les échecs corrigé
- Covariance nulle sans indépendance corrigé