Exercices corrigés — Raisonnement et vocabulaire ensembliste (mathématiques approfondies (ECG 1re année))
35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Logique et quantificateurs
Récurrence
- Somme des carrés
- Divisibilité par 3
- L'inégalité de Bernoulli, et son hypothèse
- Un produit qui se démontre par récurrence Exercice d'entraînement
- Une récurrence qui regarde deux rangs en arrière Exercice d'entraînement
- Une récurrence forte : tout entier est produit de nombres premiers Exercice d'entraînement
Sommes et produits
Coefficients binomiaux
- La relation de Pascal, en acte
- Deux sommes de coefficients binomiaux
- La formule de Vandermonde
- Une somme pondérée, par deux chemins
- Un binôme sans factorielles
Ensembles et applications
- Inclusion, réunion, intersection
- Surjectivité d'une composée
- Injectivité d'une composée
- Distribuer, puis simplifier Exercice d'entraînement
- Une involution sur les parties de Exercice d'entraînement
Logique et raisonnement
- Échanger deux quantificateurs change tout Exercice d'entraînement
- Raisonner par équivalences, et le justifier Exercice d'entraînement
- Analyse-synthèse : une partie paire, une partie impaire Exercice d'entraînement
Sommes, produits et binôme
- La somme des Exercice d'entraînement
- La somme des entiers impairs, par deux chemins Exercice d'entraînement
- Un télescopage qui livre la somme des cubes Exercice d'entraînement
- Compter les couples de parties emboîtées Exercice d'entraînement
- Trois sommes de référence Exercice supplémentaire
- Développer par le binôme Exercice supplémentaire
- Factorielles et coefficients, à simplifier Exercice supplémentaire
Logique et ensembles
- Démontrer, ou donner un contre-exemple Exercice supplémentaire
- Réciproque et contraposée Exercice supplémentaire
- Deux ensembles de diviseurs Exercice supplémentaire
Applications
- Injective, surjective, bijective Exercice supplémentaire
- Composer, et ne pas commuter Exercice supplémentaire