Exercices corrigés — Probabilités sur un ensemble quelconque (mathématiques approfondies (ECG 1re année))

35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

Espace probabilisé et fonction de répartition

• Une fonction de répartition en escalier
• Un événement négligeable qui n'est pas impossible
• Une loi lue sur sa fonction de répartition Exercice d'entraînement
• Un système complet dénombrable Exercice d'entraînement

Lois géométrique et de Poisson

• Une loi géométrique
• Une loi de Poisson
• L'absence de mémoire
• Le mode d'une loi de Poisson
• Le minimum de deux temps d'attente Exercice d'entraînement
• La probabilité qu'une loi de Poisson soit paire Exercice d'entraînement
• Une loi de Poisson qui en cache une autre Exercice d'entraînement

Espérance et variance

• Une loi sans espérance
• Une espérance sans variance

Couples de variables aléatoires

• Somme de deux Poisson
• La loi du minimum
• Mêmes marges, dépendances différentes
• Une loi de Poisson conditionnée par sa somme

Inégalités et convergences

• Markov, Tchebychev, et la vérité
• Combien de lancers pour encadrer une fréquence ?
• La borne de Bienaymé-Tchebychev est-elle améliorable ?

Couples, espérance et variance

• Un couple donné par son tableau Exercice d'entraînement
• Quand $E(XY)=E(X)E(Y)$ sans indépendance Exercice d'entraînement
• Deux binomiales s'ajoutent — à une condition Exercice d'entraînement
• L'espérance par les queues Exercice d'entraînement

Inégalités et loi des grands nombres

• Bienaymé-Tchebychev n'est qu'un Markov déguisé Exercice d'entraînement
• L'approximation de Poisson, mise en chiffres Exercice d'entraînement
• La variance d'une somme, puis celle d'une moyenne Exercice d'entraînement

Lois discrètes usuelles

• Deux situations, deux lois à reconnaître Exercice supplémentaire
• Le paramètre lu sur la loi Exercice supplémentaire
• Une constante déterminée par la somme des probabilités Exercice supplémentaire

Couples et indépendance

• Les lois marginales d'un tableau Exercice supplémentaire
• Indépendantes, ou non ? Exercice supplémentaire
• Espérance d'une combinaison, espérance d'un produit Exercice supplémentaire

Inégalités

• L'inégalité de Markov, et sa limite Exercice supplémentaire
• Bienaymé-Tchebychev, dans les deux sens Exercice supplémentaire

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