Probabilités sur un ensemble quelconque

Cours · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 10 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un arbre pondéré : probabilités de A et de son contraire, puis probabilités conditionnelles de B.

Le premier semestre s'était restreint à un univers fini. On lève ici cette restriction — et l'on découvre deux objets qui n'existaient pas : les lois prenant une infinité de valeurs, et les théorèmes qui décrivent ce qui arrive à la longue, quand on répète une expérience un grand nombre de fois.

AttentionLe niveau d'exigence

Le vocabulaire général est adopté — $(Ω, A, P)$ — mais aucune difficulté théorique sur l'ensemble des événements n'est soulevée, et le mot tribu n'est pas employé. On ne soulève pas davantage les questions d'ordre de sommation ni de dénombrabilité.

10.1 Espace probabilisé

Définition 10.1Espace probabilisé

$Ω$ est l'univers, $A$ l'ensemble des événements — il contient $Ω$ et est stable par complémentaire, union et intersection dénombrables. Une probabilité est une application $P : A \to [0, 1]$ , $σ$ -additive et telle que $P (Ω) = 1$ . Le triplet $(Ω, A, P)$ est un espace probabilisé.

iRemarqueCe qu'ajoute le

σ

L'additivité finie ne suffit plus : il faut que la probabilité d'une réunion dénombrable d'événements deux à deux incompatibles soit la somme de la série de leurs probabilités. C'est ce passage du fini au dénombrable qui permet de parler d'un premier succès arrivant à un rang quelconque.

◆Théorème 10.2Limite monotone

Soit $(A_{n})$ une suite d'événements.

Si $(A_{n})$ est croissante pour l'inclusion : $P (⋃_{k = 0}^{+ \infty} A_{k}) = lim_{n \to + \infty} P (A_{n})$ ;
si $(A_{n})$ est décroissante : $P (⋂_{k = 0}^{+ \infty} A_{k}) = lim_{n \to + \infty} P (A_{n})$ .

Définition 10.3Négligeable, presque sûr

Un événement de probabilité nulle est dit négligeable ; un événement de probabilité $1$ est dit presque sûr. Une propriété vraie sur un événement presque sûr est vraie presque sûrement.

ImportantNégligeable n'est pas impossible

« Obtenir une suite infinie de piles » a une probabilité nulle — et pourtant cet événement n'est pas vide : c'est une issue parfaitement décrite. La probabilité nulle ne signifie pas l'impossibilité ; c'est une distinction que l'univers fini ne permettait pas de faire.

◆Théorème 10.4Formules générales

Les probabilités conditionnelles, la formule des probabilités composées et celle des probabilités totales s'étendent aux systèmes complets dénombrables :

$P (B) = n \in N \sum P_{A_{n}} (B) P (A_{n}),$

et la formule de Bayes s'en déduit. Si $P (A) \neq = 0$ , $(Ω, A, P_{A})$ est lui-même un espace probabilisé.

10.2 Variables aléatoires discrètes

Définition 10.5Variable aléatoire discrète, loi

$X : Ω \to R$ est une variable aléatoire discrète si $X (Ω)$ est fini ou dénombrable et si $[X = x]$ est un événement pour tout $x$ . Sa loi est la donnée de $X (Ω)$ et des $P (X = x)$ .

Définition 10.6Fonction de répartition

La fonction de répartition de $X$ est définie sur $R$ par

$F_{X} (x) = P (X \leq x) .$

Elle est croissante, tend vers $0$ en $- \infty$ et vers $1$ en $+ \infty$ .

Définition 10.7Indépendance de variables aléatoires

$X_{1}, \dots, X_{n}$ sont mutuellement indépendantes si pour tous $x_{1}, \dots, x_{n}$ :

$P ([X_{1} = x_{1}] \cap \dots \cap [X_{n} = x_{n}]) = i = 1 \prod n P (X_{i} = x_{i}) .$

Exercices du chapitre

Une fonction de répartition en escalier corrigé
Un événement négligeable qui n'est pas impossible corrigé
Une loi géométrique corrigé
Une loi de Poisson corrigé
L'absence de mémoire corrigé
Le mode d'une loi de Poisson corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre