Taylor, développements limités et convexité

Cours · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 9 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une courbe convexe et sa tangente, qui reste en dessous de la courbe.

Ce chapitre poursuit la rubrique Compléments d'analyse commencée au chapitre précédent. Son fil conducteur : approcher une fonction par un polynôme au voisinage d'un point, et lire sur ce polynôme tout ce qui se passe localement — la position par rapport à la tangente, l'existence d'un extremum, la convexité.

AttentionLe niveau d'exigence

Le programme est net : l'étude des développements limités ne constitue pas une fin en soi, et l'on se gardera de tout excès de technicité. La composition des développements limités n'est pas au programme, et l'on se limite en pratique au voisinage de $0$ . Tous les résultats sur la convexité sont admis, et l'on n'étudiera aucun exemple de fonction $C^{1}$ sans être $C^{2}$ .

9.1 Dérivées successives

Définition 9.1Classes de régularité

$f$ est $p$ fois dérivable si l'on peut la dériver $p$ fois ; on note $f^{(p)}$ la dérivée $p$ -ième. $f$ est de classe $C^{p}$ si de plus $f^{(p)}$ est continue, et de classe $C^{\infty}$ si elle est indéfiniment dérivable.

◆Théorème 9.2Formule de Leibniz

Si $u$ et $v$ sont $n$ fois dérivables :

$(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) u^{(k)} v^{(n - k)} .$

iRemarqueUne vieille connaissance

C'est la formule du binôme, les puissances remplacées par des dérivées. Ce n'est pas une coïncidence : dans les deux cas, on distribue $n$ opérations entre deux facteurs, et $(k n)$ compte les façons d'en donner $k$ au premier.

Proposition 9.3Un polynôme finit par s'annuler

La dérivée $(n + 1)$ -ième d'un polynôme de degré au plus $n$ est nulle. Chaque dérivation abaisse le degré d'une unité.

9.2 Formules de Taylor

◆Théorème 9.4Taylor avec reste intégral

Si $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur un intervalle contenant $a$ et $x$ :

$f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t .$

◆Théorème 9.5Inégalité de Taylor-Lagrange

Sous les mêmes hypothèses, si $∣ f^{(n + 1)} ∣ \leq M$ entre $a$ et $x$ :

$f (x) - k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} \leq M \frac{∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} .$

ImportantTrois formules, trois usages

La formule avec reste intégral donne l'erreur exactement ; l'inégalité de Taylor-Lagrange la majore — c'est elle qui sert en calcul numérique ; et la formule de Taylor-Young, ci-dessous, dit seulement que l'erreur est négligeable — c'est elle qui sert en calcul de limites. De la plus précise à la plus commode.

9.3 Développements limités

Définition 9.6Développement limité

$f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ s'il existe des réels $a_{0}, \dots, a_{n}$ tels que

$f (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} + x^{n} ε (x), ε (x) x \to 0 0.$

On écrit aussi le reste $o (x^{n})$ .

Exercices du chapitre

Trois développements limités corrigé
Une limite par développement limité corrigé
Un produit de développements limités corrigé
Voir un développement limité s'écarter corrigé
La formule de Leibniz corrigé
Taylor-Lagrange, et l'écart réel corrigé

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