Taylor, développements limités et convexité

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 9 · prépa ECG, 1re année

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Ce chapitre poursuit la rubrique Compléments d'analyse commencée au chapitre précédent. Son fil conducteur : approcher une fonction par un polynôme au voisinage d'un point, et lire sur ce polynôme tout ce qui se passe localement — la position par rapport à la tangente, l'existence d'un extremum, la convexité.

AttentionLe niveau d'exigence

Le programme est net : l'étude des développements limités ne constitue pas une fin en soi, et l'on se gardera de tout excès de technicité. La composition des développements limités n'est pas au programme, et l'on se limite en pratique au voisinage de $0$ . Tous les résultats sur la convexité sont admis, et l'on n'étudiera aucun exemple de fonction $C^{1}$ sans être $C^{2}$ .

9.1 Dérivées successives

Définition 9.1Classes de régularité

$f$ est $p$ fois dérivable si l'on peut la dériver $p$ fois ; on note $f^{(p)}$ la dérivée $p$ -ième. $f$ est de classe $C^{p}$ si de plus $f^{(p)}$ est continue, et de classe $C^{\infty}$ si elle est indéfiniment dérivable.

◆Théorème 9.2Formule de Leibniz

Si $u$ et $v$ sont $n$ fois dérivables :

$(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) u^{(k)} v^{(n - k)} .$

iRemarqueUne vieille connaissance

C'est la formule du binôme, les puissances remplacées par des dérivées. Ce n'est pas une coïncidence : dans les deux cas, on distribue $n$ opérations entre deux facteurs, et $(k n)$ compte les façons d'en donner $k$ au premier.

Proposition 9.3Un polynôme finit par s'annuler

La dérivée $(n + 1)$ -ième d'un polynôme de degré au plus $n$ est nulle. Chaque dérivation abaisse le degré d'une unité.

9.2 Formules de Taylor

◆Théorème 9.4Taylor avec reste intégral

Si $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur un intervalle contenant $a$ et $x$ :

$f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t .$

◆Théorème 9.5Inégalité de Taylor-Lagrange

Sous les mêmes hypothèses, si $∣ f^{(n + 1)} ∣ \leq M$ entre $a$ et $x$ :

$f (x) - k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} \leq M \frac{∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} .$

ImportantTrois formules, trois usages

La formule avec reste intégral donne l'erreur exactement ; l'inégalité de Taylor-Lagrange la majore — c'est elle qui sert en calcul numérique ; et la formule de Taylor-Young, ci-dessous, dit seulement que l'erreur est négligeable — c'est elle qui sert en calcul de limites. De la plus précise à la plus commode.

9.3 Développements limités

Définition 9.6Développement limité

$f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ s'il existe des réels $a_{0}, \dots, a_{n}$ tels que

$f (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} + x^{n} ε (x), ε (x) x \to 0 0.$

On écrit aussi le reste $o (x^{n})$ .

◆Théorème 9.7Taylor-Young, admis — et unicité

Si $f$ est de classe $C^{\infty}$ au voisinage de $0$ , elle admet en $0$ un développement limité à tout ordre $n$ , donné par

$f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !} x^{k} + o (x^{n}),$

et ce développement est unique.

ImportantL'unicité, un outil de calcul

Puisque le développement est unique, tout procédé qui en produit un donne le bon — on n'est pas tenu de calculer les dérivées. C'est ce qui autorise à sommer, multiplier, ou reconnaître un développement connu. Et l'ordre $1$ n'est autre que $f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + o (x)$ : la tangente.

Proposition 9.8Les développements usuels en

0

$e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + o (x^{n}),$

$ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x ^{n}}{n} + o (x^{n}),$

$(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α ( α - 1 )}{2} x^{2} + \dots + o (x^{n}),$

$sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{4}), cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{5}) .$

Proposition 9.9Somme et produit

On additionne les développements terme à terme, et on multiplie en ne gardant que les termes de degré $\leq n$ . La composition n'est pas au programme.

Exemple 9.10Calculer une limite

$\frac{e ^{x} - 1 - x}{x ^{2}} = \frac{( 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + o ( x ^{2} ) ) - 1 - x}{x ^{2}} = \frac{\frac{x ^{2}}{2} + o ( x ^{2} )}{x ^{2}} x \to 0 \frac{1}{2} .$

Trois lignes là où les théorèmes généraux échouent : c'est l'usage principal des développements limités.

◆Théorème 9.11Allure locale du graphe

Si $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{k} x^{k} + x^{k} ε (x)$ avec $k \geq 2$ et $a_{k} \neq = 0$ , la position de la courbe par rapport à sa tangente $y = a_{0} + a_{1} x$ est donnée par le signe de $a_{k} x^{k}$ :

$k$ pair : la courbe reste du même côté — au-dessus si $a_{k} > 0$ , en dessous si $a_{k} < 0$ ;
$k$ impair : la courbe traverse sa tangente — c'est un point d'inflexion.

9.4 Extremums

◆Théorème 9.12Sur un segment

Toute fonction continue sur un segment y admet des extremums globaux.

◆Théorème 9.13Condition nécessaire sur un ouvert

Si $f$ est de classe $C^{1}$ sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en $x_{0} \in I$ , alors $f^{'} (x_{0}) = 0$ . Un tel point est appelé point critique.

AttentionL'ouverture est essentielle

Sur $[0, 1]$ , la fonction $x \mapsto x$ atteint ses extremums aux bornes, où sa dérivée vaut $1$ . Le programme insiste : rechercher un extremum sur un segment et sur un intervalle ouvert sont deux problèmes différents. Sur un segment, il faut examiner les points critiques et les bornes.

◆Théorème 9.14Condition suffisante, à l'ordre 2

Soit $f$ de classe $C^{2}$ sur un ouvert et $x_{0}$ un point critique. Si $f^{''} (x_{0}) > 0$ , alors $f$ admet un minimum local en $x_{0}$ ; si $f^{''} (x_{0}) < 0$ , un maximum local.

Démonstration

Le développement limité à l'ordre $2$ en $x_{0}$ s'écrit, puisque $f^{'} (x_{0}) = 0$ :

$f (x) = f (x_{0}) + \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2} (x - x_{0})^{2} + (x - x_{0})^{2} ε (x - x_{0}) .$

Le crochet $\frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2} + ε$ garde le signe de $f^{''} (x_{0})$ au voisinage de $x_{0}$ , et $(x - x_{0})^{2} \geq 0$ : la différence $f (x) - f (x_{0})$ a donc un signe constant.

9.5 Fonctions convexes

Définition 9.15Convexe, concave

$f$ est convexe sur un intervalle $I$ si pour tous $x_{1}, x_{2} \in I$ et $t_{1}, t_{2} \in [0, 1]$ avec $t_{1} + t_{2} = 1$ :

$f (t_{1} x_{1} + t_{2} x_{2}) \leq t_{1} f (x_{1}) + t_{2} f (x_{2}) .$

$f$ est concave si $- f$ est convexe.

ImportantSous les cordes, au-dessus des tangentes

$t_{1} x_{1} + t_{2} x_{2}$ décrit le segment $[x_{1}, x_{2}]$ , et $t_{1} f (x_{1}) + t_{2} f (x_{2})$ décrit la corde : l'inégalité dit que la courbe est sous ses cordes. Elle est en même temps au-dessus de ses tangentes — les deux formulations sont équivalentes.

◆Théorème 9.16Caractérisations, admises

Si $f$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ : $f$ est convexe si et seulement si $f^{'}$ est croissante, si et seulement si $C_{f}$ est au-dessus de ses tangentes. Si $f$ est de classe $C^{2}$ : $f$ est convexe si et seulement si $f^{''} \geq 0$ ; concave si et seulement si $f^{''} \leq 0$ .

◆Théorème 9.17Inégalité de convexité généralisée

Si $f$ est convexe, pour tous $x_{1}, \dots, x_{n} \in I$ et tous $t_{1}, \dots, t_{n} \geq 0$ de somme $1$ :

$f (i = 1 \sum n t_{i} x_{i}) \leq i = 1 \sum n t_{i} f (x_{i}) .$

◆Théorème 9.18Convexité et minimum global

Si $f$ est convexe sur un intervalle ouvert et si $f^{'} (x_{0}) = 0$ , alors $f$ admet en $x_{0}$ un minimum global.

ImportantPourquoi l'économie s'y intéresse

C'est ce théorème qui rend l'optimisation utilisable. Pour une fonction convexe, un point critique est le minimum : aucun candidat à comparer, aucun minimum local parasite. Une fonction de coût convexe traduit des rendements décroissants — chaque unité coûte plus que la précédente, ce qui est exactement la croissance de $f^{'}$ , le coût marginal.

Définition 9.19Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où $f^{''}$ s'annule en changeant de signe.

9.6 Graphes de fonctions

ImportantLa méthode complète

Domaine ; parité ou périodicité pour le réduire ; limites aux bornes ; dérivée et tableau de variations ; dérivée seconde, convexité et points d'inflexion ; asymptotes ; tangentes remarquables ; tracé.

Définition 9.20Asymptote oblique

La droite $y = a x + b$ est asymptote à $C_{f}$ en $+ \infty$ si $f (x) - (a x + b) \to 0$ . On détermine $a = lim \frac{f ( x )}{x}$ , puis $b = lim (f (x) - a x)$ , et la position de la courbe se lit sur le signe de $f (x) - (a x + b)$ .

AttentionLes branches paraboliques sont hors programme

Si $\frac{f ( x )}{x}$ tend vers l'infini ou si $f (x) - a x$ diverge, on ne cherche pas plus loin : ces cas ne sont pas au programme.

Python : Un développement limité, vérifié numériquement


import math

def erreur(x, n):
    """|e^x - somme des n+1 premiers termes|, vs x^{n+1}/(n+1)!"""
    s = sum(x**k / math.factorial(k) for k in range(n + 1))
    return abs(math.exp(x) - s)

for n in [1, 2, 3, 4]:
    x = 0.3
    print(n, erreur(x, n),
          math.exp(x) * x**(n+1) / math.factorial(n+1))

La colonne de gauche reste sous celle de droite : c'est exactement l'inégalité de Taylor-Lagrange avec $M = e^{0, 3}$ . Le calcul ne démontre rien, mais il confirme qu'on n'a pas fait d'erreur de majoration.

9.7 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

Leibniz : $(uv)^{(n)} = \sum (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}$ — le binôme, avec des dérivées.
Trois Taylor : reste intégral (exact), Taylor-Lagrange (majore, sert au numérique), Taylor-Young (négligeable, sert aux limites).
DL unique : tout procédé correct donne le bon. Composition hors programme, voisinage de $0$ seulement.
Allure locale : signe de $a_{k} x^{k}$ — $k$ pair, la courbe reste d'un côté ; $k$ impair, elle traverse (inflexion).
Extremum : sur un segment il existe toujours, mais il faut examiner aussi les bornes ; sur un ouvert, $f^{'} (x_{0}) = 0$ est nécessaire, et $f^{''} (x_{0}) \neq = 0$ tranche. Si $f^{''} (x_{0}) = 0$ , on ne conclut pas.
Convexe $⟺ f^{'}$ croissante $⟺ f^{''} \geq 0$ ; sous les cordes, au-dessus des tangentes. Point critique d'une convexe $\Rightarrow$ minimum global.
Asymptote oblique : $a = lim f (x) / x$ , $b = lim (f (x) - a x)$ , position par le signe de la différence. Branches paraboliques hors programme.

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