Exercices corrigés — Taylor, développements limités et convexité (mathématiques approfondies (ECG 1re année))

35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

Développements limités et limites

• Trois développements limités
• Une limite par développement limité
• Un produit de développements limités
• Voir un développement limité s'écarter

Dérivées successives et formules de Taylor

• La formule de Leibniz
• Taylor-Lagrange, et l'écart réel
• Un rang d'arrêt donné par Taylor-Lagrange
• La dérivée $n$-ième d'une fraction, puis d'une somme de deux Exercice d'entraînement
• Taylor-Lagrange sur le logarithme, et le prix d'une approximation Exercice d'entraînement

Allure locale et étude de graphe

• Position par rapport à la tangente
• Une asymptote oblique
• Une asymptote par la quantité conjuguée

Extremums

• Un minimum que la dérivée seconde ne voit pas
• Les extremums sur un segment

Convexité

• Convexité de $x\ln x$
• Au-dessus de sa tangente, et un encadrement de e
• L'inégalité arithmético-géométrique

Développements limités

• Une limite par un produit de développements Exercice d'entraînement
• Deux équivalents lus sur un développement limité Exercice d'entraînement
• Une fonction paire n'a que des puissances paires Exercice d'entraînement
• Somme et différence de développements Exercice supplémentaire
• Deux limites classiques Exercice supplémentaire
• Lire une tangente sur un développement Exercice supplémentaire

Extremums et convexité

• La boîte de volume maximal Exercice d'entraînement
• Un point d'inflexion, et la traversée de la tangente Exercice d'entraînement
• Une fonction convexe : un point critique, et c'est le minimum Exercice d'entraînement
• La moyenne des carrés dépasse le carré de la moyenne Exercice d'entraînement

Étude de graphe, asymptotes et équations

• Une étude complète, inflexions comprises Exercice d'entraînement
• Direction asymptotique, avec ou sans asymptote Exercice d'entraînement
• Combien de solutions à $e^x=x+2$ ? Exercice d'entraînement

Dérivées successives et Taylor-Lagrange

• Trois dérivées $n$-ièmes Exercice supplémentaire
• Une majoration par Taylor-Lagrange Exercice supplémentaire

Extremums, convexité et graphes

• Convexe, concave, ou ni l'un ni l'autre Exercice supplémentaire
• Un minimum sur un intervalle ouvert Exercice supplémentaire
• Un point d'inflexion à trouver Exercice supplémentaire

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