Analyse asymptotique et séries

Cours · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 8 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La fonction sinus et ses approximations de Taylor d'ordre 1 et 3 au voisinage de 0.

Ce chapitre introduit le langage de la comparaison — « négligeable devant », « équivalent à » — puis s'en sert deux fois : pour décider si une série converge, et pour décider si une intégrale converge sur un intervalle non borné. Ces deux questions sont la même, posée au discret puis au continu.

AttentionCe chapitre et le suivant

Le programme réunit sous une seule rubrique — Compléments d'analyse — ce que nous avons coupé en deux chapitres. Le découpage est le nôtre : c'est la rubrique entière qu'il faut couvrir, pas l'un des deux chapitres isolément.

8.1 Comparaison des suites

Définition 8.1Négligeable, équivalent

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites, $(v_{n})$ ne s'annulant pas à partir d'un certain rang.

$u_{n} = o (v_{n}) signifie \frac{u _{n}}{v _{n}} \to 0; u_{n} \sim v_{n} signifie \frac{u _{n}}{v _{n}} \to 1.$

Proposition 8.2Le lien entre les deux

$u_{n} \sim v_{n} ⟺ u_{n} = v_{n} + o (v_{n}) .$

ImportantCe que dit vraiment l'équivalence

« $u_{n} \sim v_{n}$ » ne dit pas que $u_{n} - v_{n}$ est petit, mais que l'écart est petit devant $v_{n}$ . Ainsi $n^{2} + n \sim n^{2}$ , bien que la différence $n$ tende vers l'infini : elle est négligeable en proportion.

Proposition 8.3Compatibilité

L'équivalence est compatible avec le produit, le quotient et l'élévation à une puissance : si $u_{n} \sim u_{n}^{'}$ et $v_{n} \sim v_{n}^{'}$ , alors $u_{n} v_{n} \sim u_{n}^{'} v_{n}^{'}$ , $\frac{u _{n}}{v _{n}} \sim \frac{u _{n}^{'}}{v _{n}^{'}}$ et $u_{n}^{α} \sim (u_{n}^{'})^{α}$ .

AttentionNi somme, ni composition

On ne peut pas additionner des équivalents : $n^{2} + n \sim n^{2}$ et $- n^{2} \sim - n^{2}$ , mais leur somme vaut $n$ , qui n'est pas équivalent à $0$ . On ne peut pas non plus composer : $n + 1 \sim n$ , mais $e^{n + 1} = e \cdot e^{n}$ n'est pas équivalent à $e^{n}$ . Produit, quotient, puissance : rien d'autre.

Proposition 8.4Croissances comparées, revues

$(ln n)^{b} = o (n^{a})$ , $n^{a} = o (q^{n})$ pour $q > 1$ , $q^{n} = o (n!)$ .

8.2 Comparaison des fonctions

Définition 8.5Au voisinage d'un point

Pour $f$ et $g$ définies au voisinage de $x_{0}$ (réel ou $\pm \infty$ ) :

$f = x_{0} o (g) ⟺ \frac{f}{g} \to 0, f x_{0} \sim g ⟺ \frac{f}{g} \to 1 ⟺ f = g + x_{0} o (g) .$

Les mêmes compatibilités valent — produit, quotient, puissance — et les mêmes interdits.

Proposition 8.6Croissances comparées pour les fonctions

$x \to 0^{+} lim x^{a} ∣ ln x ∣^{b} = 0, x \to + \infty lim \frac{( ln x ) ^{b}}{x ^{a}} = 0, x \to \pm \infty lim ∣ x ∣^{a} e^{b x} = 0 (b < 0) .$

Exercices du chapitre

Deux équivalents simples corrigé
Trois équivalents à trouver corrigé
Un équivalent qu'on ne peut pas exponentier corrigé
Trois natures de séries corrigé
Deux séries de logarithmes corrigé
Une série télescopique de rang trois corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre