Analyse asymptotique et séries

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 8 · prépa ECG, 1re année

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Ce chapitre introduit le langage de la comparaison — « négligeable devant », « équivalent à » — puis s'en sert deux fois : pour décider si une série converge, et pour décider si une intégrale converge sur un intervalle non borné. Ces deux questions sont la même, posée au discret puis au continu.

AttentionCe chapitre et le suivant

Le programme réunit sous une seule rubrique — Compléments d'analyse — ce que nous avons coupé en deux chapitres. Le découpage est le nôtre : c'est la rubrique entière qu'il faut couvrir, pas l'un des deux chapitres isolément.

8.1 Comparaison des suites

Définition 8.1Négligeable, équivalent

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites, $(v_{n})$ ne s'annulant pas à partir d'un certain rang.

$u_{n} = o (v_{n}) signifie \frac{u _{n}}{v _{n}} \to 0; u_{n} \sim v_{n} signifie \frac{u _{n}}{v _{n}} \to 1.$

Proposition 8.2Le lien entre les deux

$u_{n} \sim v_{n} ⟺ u_{n} = v_{n} + o (v_{n}) .$

ImportantCe que dit vraiment l'équivalence

« $u_{n} \sim v_{n}$ » ne dit pas que $u_{n} - v_{n}$ est petit, mais que l'écart est petit devant $v_{n}$ . Ainsi $n^{2} + n \sim n^{2}$ , bien que la différence $n$ tende vers l'infini : elle est négligeable en proportion.

Proposition 8.3Compatibilité

L'équivalence est compatible avec le produit, le quotient et l'élévation à une puissance : si $u_{n} \sim u_{n}^{'}$ et $v_{n} \sim v_{n}^{'}$ , alors $u_{n} v_{n} \sim u_{n}^{'} v_{n}^{'}$ , $\frac{u _{n}}{v _{n}} \sim \frac{u _{n}^{'}}{v _{n}^{'}}$ et $u_{n}^{α} \sim (u_{n}^{'})^{α}$ .

AttentionNi somme, ni composition

On ne peut pas additionner des équivalents : $n^{2} + n \sim n^{2}$ et $- n^{2} \sim - n^{2}$ , mais leur somme vaut $n$ , qui n'est pas équivalent à $0$ . On ne peut pas non plus composer : $n + 1 \sim n$ , mais $e^{n + 1} = e \cdot e^{n}$ n'est pas équivalent à $e^{n}$ . Produit, quotient, puissance : rien d'autre.

Proposition 8.4Croissances comparées, revues

$(ln n)^{b} = o (n^{a})$ , $n^{a} = o (q^{n})$ pour $q > 1$ , $q^{n} = o (n!)$ .

8.2 Comparaison des fonctions

Définition 8.5Au voisinage d'un point

Pour $f$ et $g$ définies au voisinage de $x_{0}$ (réel ou $\pm \infty$ ) :

$f = x_{0} o (g) ⟺ \frac{f}{g} \to 0, f x_{0} \sim g ⟺ \frac{f}{g} \to 1 ⟺ f = g + x_{0} o (g) .$

Les mêmes compatibilités valent — produit, quotient, puissance — et les mêmes interdits.

Proposition 8.6Croissances comparées pour les fonctions

$x \to 0^{+} lim x^{a} ∣ ln x ∣^{b} = 0, x \to + \infty lim \frac{( ln x ) ^{b}}{x ^{a}} = 0, x \to \pm \infty lim ∣ x ∣^{a} e^{b x} = 0 (b < 0) .$

8.3 Séries numériques

Définition 8.7Convergence, somme, reste

La série $\sum u_{n}$ converge si la suite des sommes partielles $S_{n} = \sum_{k = n_{0}}^{n} u_{k}$ admet une limite finie $S$ , appelée somme. On appelle alors reste d'ordre $n$ :

$R_{n} = S - S_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k}, et R_{n} \to 0.$

iRemarqueÀ quoi sert le reste

Il mesure l'erreur commise en s'arrêtant au rang $n$ . C'est lui qu'on majore lorsqu'on calcule une somme de façon approchée : sans majoration du reste, un calcul numérique n'a aucune garantie.

◆Théorème 8.8Séries à termes positifs, comparaison — résultats admis

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ à termes positifs.

$\sum u_{n}$ converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées ;
si $u_{n} \leq v_{n}$ : la convergence de $\sum v_{n}$ entraîne celle de $\sum u_{n}$ ; la divergence de $\sum u_{n}$ entraîne celle de $\sum v_{n}$ ;
si $u_{n} \sim v_{n}$ : les deux séries sont de même nature ;
si $u_{n} = o (v_{n})$ avec $\sum v_{n}$ convergente à termes positifs, alors $\sum u_{n}$ converge.

AttentionPositivité obligatoire

Ces théorèmes sont faux sans l'hypothèse de signe constant. C'est d'ailleurs pour cela qu'on introduit la convergence absolue : elle ramène au cas positif.

Définition 8.9Convergence absolue

$\sum u_{n}$ est absolument convergente si $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge.

◆Théorème 8.10La convergence absolue entraîne la convergence

Toute série absolument convergente converge.

iRemarquePourquoi c'est vrai

On écrit $u_{n} = u_{n}^{+} - u_{n}^{-}$ , où $u_{n}^{+} = max (u_{n}, 0)$ et $u_{n}^{-} = max (- u_{n}, 0)$ sont positifs et majorés par $∣ u_{n} ∣$ . Toute série absolument convergente est donc la différence de deux séries à termes positifs convergentes — et l'on est ramené au cas positif.

◆Théorème 8.11Les séries de référence

$n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{α}} converge ⟺ α > 1 (s e ˊ ries de Riemann);$

pour $∣ q ∣ < 1$ :

$n \geq 0 \sum q^{n} = \frac{1}{1 - q}, n \geq 1 \sum n q^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}}, n \geq 2 \sum n (n - 1) q^{n - 2} = \frac{2}{( 1 - q ) ^{3}};$

et pour tout $x \in R$ : $k \geq 0 \sum \frac{x ^{k}}{k !} = e^{x}$ .

Exemple 8.12La méthode, en trois lignes

Nature de $\sum \frac{n + 1}{n ^{3} + 2}$ ? Le terme général est positif et

$\frac{n + 1}{n ^{3} + 2} \sim \frac{n}{n ^{3}} = \frac{1}{n ^{2}},$

série de Riemann convergente ( $α = 2 > 1$ ). Par équivalence, la série converge. On ne calcule pas la somme — la nature suffit.

Proposition 8.13Lien suite-série

$\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ converge si et seulement si $(u_{n})$ converge, la somme valant alors $lim u_{n} - u_{n_{0}}$ . C'est souvent la seule voie pour étudier une suite dont on ne sait rien d'autre.

8.4 Intégrales sur un intervalle quelconque

AttentionL'objectif

Le programme demande d'éviter toute technicité : ce chapitre n'existe que pour préparer les variables aléatoires à densité de deuxième année.

Définition 8.14Intégrale convergente

Soit $f$ continue sur $[a, b [$ avec $- \infty < a < b \leq + \infty$ . On dit que $\int_{a}^{b} f (t) d t$ converge si $lim_{x \to b} \int_{a}^{x} f (t) d t$ existe et est finie ; on pose alors

$\int_{a}^{b} f (t) d t = x \to b lim \int_{a}^{x} f (t) d t .$

Définition analogue sur $] a, b]$ , et l'on étend aux intervalles quelconques en découpant.

Proposition 8.15Règles de calcul

Linéarité, relation de Chasles, positivité et croissance s'étendent aux intégrales convergentes. Si $f$ est continue, positive sur $[a, b [$ et d'intégrale nulle, alors $f$ est identiquement nulle.

◆Théorème 8.16Cas des fonctions positives — résultats admis

Soit $f$ continue et positive sur $[a, b [$ .

$\int_{a}^{b} f$ converge si et seulement si $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ est majorée ;
si $0 \leq f \leq g$ au voisinage de $b$ : la convergence de $\int g$ entraîne celle de $\int f$ ;
si $f b \sim g$ avec $g$ positive : les deux intégrales sont de même nature ;
si $f = b o (g)$ avec $\int g$ convergente et $g$ positive, alors $\int f$ converge.

ImportantLa parenté avec les séries est totale

Ces quatre énoncés sont, mot pour mot, ceux des séries à termes positifs. C'est la même idée : une quantité croissante et majorée converge. Retenir l'un, c'est retenir l'autre.

◆Théorème 8.17Intégrales de référence

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α}} converge ⟺ α > 1, \int_{a}^{b} \frac{d t}{( t - a ) ^{α}} converge ⟺ α < 1,$

$\int_{0}^{+ \infty} e^{- α t} d t converge ⟺ α > 0.$

AttentionLes deux inégalités sont inversées

En $+ \infty$ , il faut $α > 1$ : la fonction doit décroître assez vite. En $a$ , il faut $α < 1$ : la fonction ne doit pas exploser trop vite. Confondre les deux est l'erreur classique — on retient qu'une même exigence, « pas trop de masse », se traduit dans les deux sens opposés selon l'endroit où se trouve le problème.

Définition 8.18Convergence absolue

$\int_{a}^{b} f$ est absolument convergente si $\int_{a}^{b} ∣ f ∣$ converge — et cela entraîne la convergence. Comme pour les séries, on écrit $f$ comme différence de deux fonctions continues positives.

◆Théorème 8.19Intégration par parties, changement de variable

On pratique l'intégration par parties sur un segment, puis on passe à la limite. Pour le changement de variable : si $f$ est continue sur $] a, b [$ et si $φ$ est une bijection de classe $C^{1}$ strictement monotone de $] α, β [$ sur $] a, b [$ , alors $\int_{a}^{b} f$ et $\int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t$ sont de même nature, et égales en cas de convergence.

AttentionLes substitutions sont fournies

Les changements de variable non affines doivent être indiqués dans l'énoncé, et ne présenter aucune difficulté technique. On ne cherche pas de substitution astucieuse de soi-même.

Python : Conjecturer une nature


import numpy as np

def somme_partielle(alpha, N):
    n = np.arange(1, N + 1)
    return np.cumsum(1 / n ** alpha)

for a in [0.5, 1.0, 1.5, 2.0]:
    S = somme_partielle(a, 200_000)
    # l'accroissement sur la 2e moitie
    print(a, S[-1], S[-1] - S[len(S)//2])

Pour $α \leq 1$ , la somme continue de croître nettement ; pour $α > 1$ , l'accroissement s'effondre. Le calcul suggère la frontière $α = 1$ — il ne la démontre pas, et surtout il ne distingue pas $α = 1$ de $α = 1, 001$ .

8.5 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

$u_{n} \sim v_{n} ⟺ u_{n} = v_{n} + o (v_{n})$ : l'écart est petit devant $v_{n}$ , pas petit en soi.
Compatibilité : produit, quotient, puissance. Jamais la somme, jamais la composition.
Reste $R_{n} = S - S_{n} \to 0$ : c'est l'erreur d'un calcul arrêté au rang $n$ .
Termes positifs : majoration, comparaison, équivalence, négligeabilité. Faux sans hypothèse de signe.
Riemann : $\sum 1/ n^{α}$ converge $⟺ α > 1$ . Géométriques et leurs deux dérivées. $\sum x^{k} / k! = e^{x}$ .
Intégrales : mêmes quatre théorèmes que pour les séries.
Références : $\int_{1}^{+ \infty} t^{- α}$ converge $⟺ α > 1$ ; $\int_{a}^{b} (t - a)^{- α}$ converge $⟺ α < 1$ ; $\int_{0}^{+ \infty} e^{- α t}$ converge $⟺ α > 0$ . Les deux premières inégalités sont inversées.
IPP sur un segment puis passage à la limite. Changement de variable : bijection $C^{1}$ strictement monotone, indiquée.

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