Algèbre linéaire en dimension finie
Cours · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 7 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Le premier semestre avait posé le vocabulaire : espace vectoriel, famille libre, génératrice, base. Ce chapitre en fait une théorie. Deux idées le gouvernent. D'abord, un nombre — la dimension — résume à lui seul un espace vectoriel. Ensuite, choisir une base transforme toute application linéaire en une matrice, si bien que l'algèbre abstraite et le calcul matriciel deviennent deux langages pour la même chose.
Dans les sections sur la dimension finie et sur les compléments, aucune démonstration n'est exigible. On retient les énoncés et leurs hypothèses. Par ailleurs, toute théorie générale sur les polynômes annulateurs est exclue : on procède sur des exemples.
7.1 Dimension finie
est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie.
Tout espace vectoriel de dimension finie non réduit à admet une base. Si est libre et génératrice, alors . En particulier, toutes les bases ont le même cardinal : c'est la dimension de , notée .
Dans un espace de dimension , une famille de vecteurs qui est libre ou génératrice est une base.
Si l'on connaît déjà la dimension, il suffit de vérifier une des deux propriétés — et la liberté est presque toujours plus rapide à établir. C'est l'argument le plus employé de tout le chapitre.
Toute famille libre d'un espace de dimension finie peut être complétée en une base, à l'aide de vecteurs pris dans une famille génératrice donnée.
Si est un sous-espace vectoriel de de dimension finie, alors ; et
Pour montrer que deux sous-espaces sont égaux, il suffit souvent d'établir une inclusion et l'égalité des dimensions. C'est plus court que la double inclusion, et c'est le réflexe à prendre.
7.2 Sommes et supplémentaires
Pour et sous-espaces de :
La somme est directe, notée , lorsque tout vecteur de se décompose de manière unique en . Si de plus , on dit que et sont supplémentaires.
La somme est directe si et seulement si . Et
De plus .
Un supplémentaire n'est pas unique : dans le plan, une droite admet une infinité de supplémentaires — toutes les autres droites passant par l'origine. « Le » supplémentaire n'existe pas ; on en choisit un.
Exercices du chapitre
- Trois dimensions à connaître corrigé
- Une base, par le cardinal corrigé
- Une somme directe dans corrigé
- Symétriques et antisymétriques corrigé
- Le noyau et l'image de la dérivation corrigé
- Noyau, image et rang d'une application de corrigé