Algèbre linéaire en dimension finie

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 7 · prépa ECG, 1re année

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Le premier semestre avait posé le vocabulaire : espace vectoriel, famille libre, génératrice, base. Ce chapitre en fait une théorie. Deux idées le gouvernent. D'abord, un nombre — la dimension — résume à lui seul un espace vectoriel. Ensuite, choisir une base transforme toute application linéaire en une matrice, si bien que l'algèbre abstraite et le calcul matriciel deviennent deux langages pour la même chose.

AttentionAucune démonstration exigible

Dans les sections sur la dimension finie et sur les compléments, aucune démonstration n'est exigible. On retient les énoncés et leurs hypothèses. Par ailleurs, toute théorie générale sur les polynômes annulateurs est exclue : on procède sur des exemples.

7.1 Dimension finie

Définition 7.1Espace de dimension finie

$E$ est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie.

◆Théorème 7.2Existence de bases, et cardinal

Tout espace vectoriel de dimension finie non réduit à ${0}$ admet une base. Si $L$ est libre et $G$ génératrice, alors $card L \leq card G$ . En particulier, toutes les bases ont le même cardinal : c'est la dimension de $E$ , notée $dim E$ .

◆Théorème 7.3Caractérisation des bases

Dans un espace de dimension $n$ , une famille de $n$ vecteurs qui est libre ou génératrice est une base.

ImportantLe théorème qui divise le travail par deux

Si l'on connaît déjà la dimension, il suffit de vérifier une des deux propriétés — et la liberté est presque toujours plus rapide à établir. C'est l'argument le plus employé de tout le chapitre.

◆Théorème 7.4Base incomplète

Toute famille libre d'un espace de dimension finie peut être complétée en une base, à l'aide de vecteurs pris dans une famille génératrice donnée.

Proposition 7.5Dimension d'un sous-espace

Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie, alors $dim F \leq dim E$ ; et

$dim F = dim E ⟹ F = E .$

ImportantUn argument de dimension suffit

Pour montrer que deux sous-espaces sont égaux, il suffit souvent d'établir une inclusion et l'égalité des dimensions. C'est plus court que la double inclusion, et c'est le réflexe à prendre.

7.2 Sommes et supplémentaires

Définition 7.6Somme, somme directe, supplémentaires

Pour $F$ et $G$ sous-espaces de $E$ :

$F + G = {u + v ∣ u \in F, v \in G} .$

La somme est directe, notée $F \oplus G$ , lorsque tout vecteur de $F + G$ se décompose de manière unique en $u + v$ . Si de plus $F \oplus G = E$ , on dit que $F$ et $G$ sont supplémentaires.

◆Théorème 7.7Caractérisations

La somme $F + G$ est directe si et seulement si $F \cap G = {0}$ . Et

$E = F \oplus G ⟺ F \cap G = {0} et dim F + dim G = dim E .$

De plus $dim (F + G) = dim F + dim G - dim (F \cap G)$ .

AttentionSupplémentaire n'est pas complémentaire

Un supplémentaire n'est pas unique : dans le plan, une droite admet une infinité de supplémentaires — toutes les autres droites passant par l'origine. « Le » supplémentaire n'existe pas ; on en choisit un.

Proposition 7.8Concaténation de bases

Si $B_{F}$ est une base de $F$ et $B_{G}$ une base de $G$ , alors la famille obtenue en les mettant bout à bout est une base de $F \oplus G$ si et seulement si la somme est directe.

7.3 Applications linéaires

Définition 7.9Application linéaire

$f : E \to F$ est linéaire si $f (λ u + μv) = λ f (u) + μ f (v)$ pour tous $u, v \in E$ et $λ, μ \in R$ . Leur ensemble, noté $L (E, F)$ , est lui-même un espace vectoriel. Une application linéaire de $E$ dans $E$ est un endomorphisme ; leur ensemble est noté $L (E)$ . Un isomorphisme est une application linéaire bijective.

◆Théorème 7.10Tout espace de dimension

n

« est »

M_{n, 1} (R)

Un espace vectoriel est de dimension $n$ si et seulement s'il est isomorphe à $M_{n, 1} (R)$ .

ImportantLa portée de cet énoncé

Il dit qu'à isomorphisme près, il n'existe qu'un seul espace vectoriel de dimension $n$ . Les polynômes de $R_{3} [x]$ , les matrices $2 \times 2$ , les suites vérifiant une récurrence d'ordre 4 : tous se ramènent à des colonnes de quatre nombres. Choisir une base, c'est réaliser cet isomorphisme.

Définition 7.11Noyau et image

$ker f = {u \in E ∣ f (u) = 0}$ et $Im f = {f (u) ∣ u \in E}$ . Ce sont des sous-espaces vectoriels de $E$ et de $F$ respectivement. On appelle rang de $f$ la dimension de son image.

Proposition 7.12Injectivité et noyau

$f$ est injective si et seulement si $ker f = {0}$ . Si $(e_{1}, \dots, e_{n})$ engendre $E$ , alors $(f (e_{1}), \dots, f (e_{n}))$ engendre $Im f$ — c'est ainsi qu'on la détermine en pratique.

◆Théorème 7.13Formule du rang

Si $E$ est de dimension finie et $u : E \to F$ linéaire :

$dim E = dim (ker u) + dim (Im u) .$

Proposition 7.14Deux conséquences

Si $dim E = dim F$ , alors $u$ est un isomorphisme si et seulement si elle est injective, si et seulement si elle est surjective — une seule vérification suffit. Et le noyau d'une forme linéaire non nulle $φ : E \to R$ est un hyperplan : $dim ker φ = dim E - 1$ .

Définition 7.15Projecteur

Si $E = F \oplus G$ , tout $x$ s'écrit de manière unique $x = u + v$ avec $u \in F$ , $v \in G$ . L'application $p : x \mapsto u$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ .

◆Théorème 7.16Caractérisation

Un endomorphisme $p$ de $E$ est un projecteur si et seulement si

$p \circ p = p .$

Il projette alors sur $Im p$ parallèlement à $ker p$ , et $E = ker p \oplus Im p$ .

7.4 Matrices et applications linéaires

Définition 7.17Matrice d'une application linéaire

Soient $B_{E} = (e_{1}, \dots, e_{p})$ une base de $E$ et $B_{F}$ une base de $F$ . La matrice de $f$ dans ces bases, notée $Mat_{B_{F}, B_{E}} (f)$ , a pour $j$ -ème colonne les coordonnées de $f (e_{j})$ dans $B_{F}$ .

ImportantLa règle de construction

Les colonnes sont les images des vecteurs de la base de départ, écrites dans la base d'arrivée. Tout le reste en découle — et c'est la seule chose à retenir pour construire une matrice.

Proposition 7.18Image d'un vecteur, composition, rang

Si $X$ est la colonne des coordonnées de $x$ dans $B_{E}$ , celle de $f (x)$ dans $B_{F}$ est $Mat (f) X$ . Et pour $f : E \to F$ , $g : F \to G$ :

$Mat_{B_{G}, B_{E}} (g \circ f) = Mat_{B_{G}, B_{F}} (g) Mat_{B_{F}, B_{E}} (f) .$

Enfin, le rang de la matrice égale le rang de $f$ , quelles que soient les bases ; et une matrice et sa transposée ont même rang (admis).

iRemarquePourquoi le produit matriciel est ce qu'il est

La formule $(A B)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{k j}$ , arbitraire en apparence, est exactement ce qu'il faut pour que composer revienne à multiplier. Et l'on comprend du même coup la non-commutativité : composer dans l'autre sens n'est pas la même transformation.

Définition 7.19Matrice de passage

Soient $B$ et $B^{'}$ deux bases de $E$ . La matrice de passage $P_{B, B^{'}}$ a pour colonnes les coordonnées des vecteurs de $B^{'}$ dans $B$ . Pour tout vecteur $x$ :

$X_{B} = P_{B, B^{'}} X_{B^{'}} .$

Elle est inversible, d'inverse $P_{B^{'}, B}$ .

AttentionLe sens de la formule surprend

La matrice dont les colonnes sont écrites dans l'ancienne base transforme les nouvelles coordonnées en anciennes. C'est l'inverse de ce que l'intuition suggère, et l'erreur la plus fréquente : on vérifie toujours sur un vecteur de $B^{'}$ , dont les coordonnées dans $B^{'}$ sont $(1, 0, \dots, 0)$ .

7.5 Endomorphismes et matrices carrées

Définition 7.20Matrice d'un endomorphisme

Pour $f \in L (E)$ et $B$ une base de $E$ , on note $Mat_{B} (f)$ sa matrice — une matrice carrée, la même base servant au départ et à l'arrivée.

◆Théorème 7.21Isomorphismes et matrices inversibles

$f \in L (E)$ est un isomorphisme si et seulement si $Mat_{B} (f)$ est inversible, et alors $Mat_{B} (f^{- 1}) = (Mat_{B} (f))^{- 1}$ .

◆Théorème 7.22Formule du binôme

Si deux endomorphismes $u$ et $v$ — ou deux matrices carrées $A$ et $B$ — commutent, alors pour tout $n \in N$ :

$(u + v)^{n} = k = 0 \sum n (k n) u^{k} v^{n - k} .$

AttentionL'hypothèse est indispensable

Sans commutation, la formule est fausse dès $n = 2$ : $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ , et $A B + B A \neq = 2 A B$ en général. C'est l'hypothèse qu'on oublie le plus.

Définition 7.23Polynôme annulateur

Un polynôme $P$ est annulateur de $f$ (ou de $A$ ) si $P (f) = 0$ .

Exemple 7.24Ce qu'un polynôme annulateur donne

Si $A^{2} - 3 A + 2 I_{n} = 0$ , alors $A (A - 3 I_{n}) = - 2 I_{n}$ , donc $A$ est inversible d'inverse $\frac{1}{2} (3 I_{n} - A)$ — sans résoudre le moindre système. La même relation permet de calculer $A^{k}$ : en divisant $x^{k}$ par $x^{2} - 3 x + 2$ , il reste $A^{k} = α A + β I_{n}$ , où $α$ et $β$ se lisent sur les racines $1$ et $2$ .

Python : Vérifier un polynôme annulateur


import numpy as np

A = np.array([[2., 0.], [1., 1.]])
I = np.eye(2)
print(A @ A - 3*A + 2*I)          #  0 : le polynome x^2-3x+2 annule A
print(np.allclose(A @ A - 3*A + 2*I, 0))       # True
print(np.linalg.inv(A))
print(0.5 * (3*I - A))            # la meme chose, sans inversion

La comparaison se fait avec allclose, jamais avec == : sur des flottants, l'égalité exacte échoue presque toujours.

7.6 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

Libre $\leq dim E \leq$ génératrice. En dimension $n$ , une famille de $n$ vecteurs libre ou génératrice est une base.
$F \subset E$ et $dim F = dim E$ $\Rightarrow$ $F = E$ : un argument de dimension remplace une double inclusion.
$E = F \oplus G ⟺ F \cap G = {0}$ et $dim F + dim G = dim E$ . Un supplémentaire n'est pas unique.
Un espace est de dimension $n$ $⟺$ il est isomorphe à $M_{n, 1} (R)$ : à isomorphisme près, il n'y en a qu'un.
Formule du rang : $dim E = dim ker u + rg (u)$ . Si $dim E = dim F$ , injective $⟺$ surjective $⟺$ isomorphisme.
Projecteur $⟺ p \circ p = p$ , et $E = ker p \oplus Im p$ .
Matrice de $f$ : les colonnes sont les images de la base de départ. Composer $=$ multiplier.
Passage : $X_{B} = P_{B, B^{'}} X_{B^{'}}$ — le sens surprend, on le vérifie sur un vecteur de $B^{'}$ .
Binôme : seulement si les deux commutent.
Polynôme annulateur : donne l'inverse et les puissances. Théorie générale exclue.

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