Probabilités sur un ensemble fini

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 6 · prépa ECG, 1re année

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Ce chapitre met en place un cadre simplifié mais formalisé : on s'y restreint à un univers $Ω$ fini, ce qui permet de mener tous les calculs sans difficulté théorique. Le second semestre lèvera cette restriction ; tout ce qui s'écrit ici y restera vrai.

AttentionLe cadre

$Ω$ est fini, et l'ensemble des événements est $P (Ω)$ — le mot tribu n'est pas employé. Le programme demande aussi d'éviter un usage avancé de la combinatoire : on privilégie le vocabulaire probabiliste sur les dénombrements virtuoses.

6.1 Événements

Définition 6.1Expérience aléatoire, univers, événement

Une expérience aléatoire a des résultats connus mais imprévisibles. L'ensemble de ces résultats est l'univers $Ω$ ; toute partie de $Ω$ est un événement. Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) lorsque leur intersection est vide.

iRemarqueLes opérations sont les connecteurs logiques

$A \cup B$ traduit « $A$ ou $B$ », $A \cap B$ traduit « $A$ et $B$ », $A$ traduit la négation. De Morgan s'y lit directement : $A \cup B = A \cap B$ dit que « ni $A$ ni $B$ » équivaut à « pas $A$ et pas $B$ ».

Définition 6.2Système complet fini

Une famille finie $(A_{i})_{i \in I}$ est un système complet d'événements lorsque les $A_{i}$ sont deux à deux incompatibles et que leur réunion vaut $Ω$ : exactement une des situations se réalise.

6.2 Probabilité

Définition 6.3Probabilité

Une probabilité sur $P (Ω)$ est une application $P$ à valeurs dans $[0, 1]$ , additive — $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ pour $A$ et $B$ incompatibles — et vérifiant $P (Ω) = 1$ .

Proposition 6.4Premières conséquences

$P (\emptyset) = 0$ ; $P (A) = 1 - P (A)$ ; et $A \subset B$ entraîne $P (A) \leq P (B)$ .

Définition 6.5Équiprobabilité

Lorsque tous les événements élémentaires ont même probabilité,

$P (A) = \frac{card A}{card Ω} = \frac{cas favorables}{cas possibles} .$

AttentionL'équiprobabilité se justifie

Elle traduit une symétrie de l'expérience, elle ne va jamais de soi. Sur la somme de deux dés, les onze résultats ne sont pas équiprobables — c'est en revenant aux $36$ couples qu'on la retrouve.

◆Théorème 6.6Formule de Poincaré, ou du crible

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B),$

$P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A \cap B) - P (A \cap C) - P (B \cap C) + P (A \cap B \cap C) .$

6.3 Probabilités conditionnelles

Définition 6.7Probabilité conditionnelle

Si $P (A) \neq = 0$ , la probabilité de $B$ sachant $A$ est

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} .$

$P_{A}$ est elle-même une probabilité sur $P (Ω)$ : toutes les formules établies s'y appliquent.

◆Théorème 6.8Probabilités composées

$P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ , et plus généralement, si $P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) \neq = 0$ :

$P (i = 1 ⋂ n A_{i}) = P (A_{1}) P_{A_{1}} (A_{2}) P_{A_{1} \cap A_{2}} (A_{3}) \dots P_{A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}} (A_{n}) .$

ImportantC'est la formule de l'arbre

Chaque facteur est porté par une branche : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées. Un arbre bien construit est une application de cette formule.

◆Théorème 6.9Probabilités totales, formule de Bayes

Si $(A_{i})_{1 \leq i \leq n}$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles, alors pour tout $B$ :

$P (B) = i = 1 \sum n P (B \cap A_{i}) = i = 1 \sum n P_{A_{i}} (B) P (A_{i}),$

et si $P (B) \neq = 0$ :

$P_{B} (A_{k}) = \frac{P _{A_{k}} ( B ) P ( A _{k} )}{i = 1 \sum n P _{A_{i}} ( B ) P ( A _{i} )} .$

Exemple 6.10Un test de dépistage

Une maladie touche $1 %$ de la population. Le test est positif chez $99 %$ des malades et $2 %$ des personnes saines. Avec $M$ « malade » et $T$ « test positif » :

$P (T) = 0, 99 \times 0, 01 + 0, 02 \times 0, 99 = 0, 0099 + 0, 0198 = 0, 0297,$

$P_{T} (M) = \frac{0 , 0099}{0 , 0297} = \frac{1}{3} \approx 33 %.$

Un test très fiable ne rend malade qu'un positif sur trois : les personnes saines sont si nombreuses que leurs $2 %$ de faux positifs dépassent le total des vrais positifs.

6.4 Indépendance

Définition 6.11Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ . Si $P (A) \neq = 0$ , cela équivaut à $P_{A} (B) = P (B)$ . Les événements $A_{1}, \dots, A_{n}$ sont mutuellement indépendants si pour toute partie $J$ de ${1, \dots, n}$ : $P (⋂_{i \in J} A_{i}) = \prod_{i \in J} P (A_{i})$ .

AttentionTrois confusions à éviter

Indépendant $\neq =$ incompatible : si $A$ et $B$ sont incompatibles de probabilités non nulles, alors $P (A \cap B) = 0 < P (A) P (B)$ — savoir que $A$ arrive interdit $B$ , c'est une information maximale. Mutuelle $\neq =$ deux à deux : vérifier les couples ne suffit pas. Et l'indépendance est relative à la probabilité : changer $P$ peut la détruire.

Proposition 6.12Stabilité par complémentaire

Si $A_{1}, \dots, A_{n}$ sont mutuellement indépendants, alors les $B_{i}$ le sont encore, où chaque $B_{i}$ vaut $A_{i}$ ou $A_{i}$ .

6.5 Variables aléatoires réelles finies

Définition 6.13Variable aléatoire réelle

Sur un univers fini, une variable aléatoire réelle est simplement une application $X : Ω \to R$ . On note $[X = x]$ , $[X \leq x]$ , $[X \in I]$ les événements correspondants.

ImportantTrois objets, trois natures

$X$ est une fonction ; $x$ est un nombre ; $[X = x]$ est un événement, donc une partie de $Ω$ . C'est parce que $[X = x]$ est un événement que $P (X = x)$ a un sens. Cette confusion est la première source d'erreurs du chapitre.

Définition 6.14Loi, système complet associé

La loi de $X$ est la donnée de $X (Ω)$ et des $P (X = x)$ pour $x \in X (Ω)$ . La famille $([X = x])_{x \in X (Ω)}$ est un système complet d'événements.

Proposition 6.15Loi de

Y = g (X)

Pour $g$ définie sur $X (Ω)$ : $P (Y = y) = \sum_{x, g (x) = y} P (X = x)$ . On se limite à des cas simples, $g (x) = a x + b$ ou $g (x) = x^{2}$ .

6.5.1 Espérance et variance

Définition 6.16Espérance

$E (X) = x \in X (Ω) \sum x P (X = x) .$

◆Théorème 6.17Linéarité, croissance, transfert

$E (a X + bY) = a E (X) + b E (Y)$ ; si $X \geq 0$ alors $E (X) \geq 0$ ; et (théorème de transfert, admis)

$E (g (X)) = x \in X (Ω) \sum g (x) P (X = x) .$

ImportantLa linéarité ne demande pas l'indépendance

$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ est vraie toujours, même si $X$ et $Y$ sont liées. C'est ce qui rend le calcul d'espérance si commode — on décompose, on somme. Rien de tel pour la variance.

Définition 6.18Variance, écart-type

$V (X) = E [(X - E (X))^{2}]$ et $σ (X) = V (X)$ .

◆Théorème 6.19Kœnig-Huygens

$V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}, V (a X + b) = a^{2} V (X) .$

De plus $V (X) = 0$ si et seulement si $X$ est certaine.

Définition 6.20Variable centrée réduite

Si $σ (X) \neq = 0$ , la variable $\frac{X - E ( X )}{σ ( X )}$ est centrée réduite : d'espérance nulle et de variance $1$ .

6.6 Lois usuelles

Définition 6.21Loi certaine, loi de Bernoulli

$X$ est certaine si elle ne prend qu'une valeur. $X ↪ B (p)$ si $X (Ω) = {0, 1}$ avec $P (X = 1) = p$ ; alors $E (X) = p$ et $V (X) = p (1 - p)$ .

ImportantLa variable indicatrice

Pour un événement $A$ , la variable indicatrice $1_{A}$ vaut $1$ si $A$ se réalise et $0$ sinon : elle suit $B (P (A))$ , et $E (1_{A}) = P (A)$ . C'est le pont entre événements et variables aléatoires — et l'outil qui, joint à la linéarité, résout quantité de problèmes de comptage.

Définition 6.22Loi binomiale

$X ↪ B (n, p)$ compte les succès en $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes :

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}, E (X) = n p, V (X) = n p (1 - p) .$

iRemarqueLe lien avec le binôme de Newton

La somme des probabilités vaut $\sum_{k} (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} = (p + (1 - p))^{n} = 1$ : la formule du binôme n'est rien d'autre que « les probabilités d'une loi somment à $1$ ». Et l'espérance se calcule sans aucune somme binomiale, en écrivant $X$ comme somme de $n$ indicatrices et en invoquant la linéarité.

Définition 6.23Loi uniforme

$X ↪ U ([[1, n]])$ si $P (X = k) = \frac{1}{n}$ ; alors $E (X) = \frac{n + 1}{2}$ et $V (X) = \frac{n ^{2} - 1}{12}$ . Plus généralement, pour $(a, b) \in Z^{2}$ avec $a \leq b$ : $X ↪ U ([[a, b]])$ vérifie $E (X) = \frac{a + b}{2}$ et $V (X) = \frac{( b - a + 1 ) ^{2} - 1}{12}$ .

iRemarqueDes entiers relatifs

Le programme prend $(a, b) \in Z^{2}$ : les bornes peuvent être négatives. Une translation $X = (a - 1) + U$ ramène au cas $[[1, b - a + 1]]$ , et $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ montre que la variance ne dépend que de la longueur de l'intervalle.

Python : Simuler, et vérifier les moments


import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)

n, p = 20, 0.3
X = rng.binomial(n, p, size=200_000)
print(X.mean(), n * p)                     #  6.0
print(X.var(),  n * p * (1 - p))           #  4.2

Les deux colonnes coïncident. Un écart persistant signalerait une erreur — de calcul ou de modèle, jamais du hasard.

6.7 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

Système complet : deux à deux incompatibles, de réunion $Ω$ . Le plus utile : $(A, A)$ .
Poincaré à deux et à trois événements — on retranche ce qui a été compté deux fois, on remet ce qu'on a trop retranché.
Composées : formule de l'arbre. Totales : on somme les chemins. Bayes : on renverse le conditionnement.
Indépendant $\neq =$ incompatible ; mutuelle $\neq =$ deux à deux ; l'indépendance dépend de $P$ .
$[X = x]$ est un événement. Transfert : $E (g (X)) = \sum g (x) P (X = x)$ .
Linéarité de $E$ sans hypothèse d'indépendance — c'est ce qui rend l'indicatrice $1_{A}$ si efficace, avec $E (1_{A}) = P (A)$ .
Kœnig-Huygens $V = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ ; $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ ; $V = 0 ⟺ X$ certaine.
$B (p)$ : $p$ , $p (1 - p)$ . $B (n, p)$ : $n p$ , $n p (1 - p)$ . $U ([[1, n]])$ : $\frac{n + 1}{2}$ , $\frac{n ^{2} - 1}{12}$ .

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