Probabilités sur un ensemble fini

Cours · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 6 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les 36 issues d'un lancer de deux dés : les six issues de somme 7 forment une diagonale.

Ce chapitre met en place un cadre simplifié mais formalisé : on s'y restreint à un univers $Ω$ fini, ce qui permet de mener tous les calculs sans difficulté théorique. Le second semestre lèvera cette restriction ; tout ce qui s'écrit ici y restera vrai.

AttentionLe cadre

$Ω$ est fini, et l'ensemble des événements est $P (Ω)$ — le mot tribu n'est pas employé. Le programme demande aussi d'éviter un usage avancé de la combinatoire : on privilégie le vocabulaire probabiliste sur les dénombrements virtuoses.

6.1 Événements

Définition 6.1Expérience aléatoire, univers, événement

Une expérience aléatoire a des résultats connus mais imprévisibles. L'ensemble de ces résultats est l'univers $Ω$ ; toute partie de $Ω$ est un événement. Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) lorsque leur intersection est vide.

iRemarqueLes opérations sont les connecteurs logiques

$A \cup B$ traduit « $A$ ou $B$ », $A \cap B$ traduit « $A$ et $B$ », $A$ traduit la négation. De Morgan s'y lit directement : $A \cup B = A \cap B$ dit que « ni $A$ ni $B$ » équivaut à « pas $A$ et pas $B$ ».

Définition 6.2Système complet fini

Une famille finie $(A_{i})_{i \in I}$ est un système complet d'événements lorsque les $A_{i}$ sont deux à deux incompatibles et que leur réunion vaut $Ω$ : exactement une des situations se réalise.

6.2 Probabilité

Définition 6.3Probabilité

Une probabilité sur $P (Ω)$ est une application $P$ à valeurs dans $[0, 1]$ , additive — $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ pour $A$ et $B$ incompatibles — et vérifiant $P (Ω) = 1$ .

Proposition 6.4Premières conséquences

$P (\emptyset) = 0$ ; $P (A) = 1 - P (A)$ ; et $A \subset B$ entraîne $P (A) \leq P (B)$ .

Définition 6.5Équiprobabilité

Lorsque tous les événements élémentaires ont même probabilité,

$P (A) = \frac{card A}{card Ω} = \frac{cas favorables}{cas possibles} .$

AttentionL'équiprobabilité se justifie

Elle traduit une symétrie de l'expérience, elle ne va jamais de soi. Sur la somme de deux dés, les onze résultats ne sont pas équiprobables — c'est en revenant aux $36$ couples qu'on la retrouve.

◆Théorème 6.6Formule de Poincaré, ou du crible

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B),$

$P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A \cap B) - P (A \cap C) - P (B \cap C) + P (A \cap B \cap C) .$

6.3 Probabilités conditionnelles

Définition 6.7Probabilité conditionnelle

Si $P (A) \neq = 0$ , la probabilité de $B$ sachant $A$ est

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} .$

$P_{A}$ est elle-même une probabilité sur $P (Ω)$ : toutes les formules établies s'y appliquent.

Exercices du chapitre

Un roi, un cœur, une figure corrigé
Divisible par deux, par trois ou par cinq corrigé
De quelle usine vient la pièce ? corrigé
Une boule transférée d'une urne à l'autre corrigé
Indépendance et passage au contraire corrigé
Deux à deux, mais pas mutuellement corrigé

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