Fonctions réelles d'une variable réelle

Cours · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 5 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une courbe et ses deux asymptotes : verticale en 0, horizontale y = ℓ.

Ce chapitre est le plus vaste du semestre : limites, continuité, dérivation, intégration. Le programme fixe un principe d'ensemble — on évitera la recherche d'hypothèses minimales, préférant des méthodes efficaces pour un ensemble assez large de fonctions usuelles. On ne cherche donc pas le théorème le plus général, mais celui qui sert.

AttentionLe cadre

On se limite aux fonctions définies sur un intervalle de $R$ .
Aucune démonstration n'est exigible.
La caractérisation séquentielle de la limite n'est pas au programme — on peut s'en servir dans un sens, pas la présenter comme critère.
Les fonctions trigonométriques sont ici des fonctions de référence, mais leur existence n'est pas un enjeu : on les interprète sur le cercle, et seules $cos^{2} + sin^{2} = 1$ et les formules d'addition sont exigibles.

5.1 Limite et continuité en un point

Définition 5.1Limite en un point

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ , $x_{0}$ un réel de $I$ ou une extrémité de $I$ , et $ℓ \in R$ . On dit que $f$ admet $ℓ$ pour limite en $x_{0}$ si

$\forall ε > 0, \exists α > 0, \forall x \in I \cap [x_{0} - α, x_{0} + α], ∣ f (x) - ℓ ∣ \leq ε .$

ImportantUne seule définition, trois lectures

Si $x_{0} \in I$ , cette propriété signifie que $f$ est continue en $x_{0}$ , et alors $ℓ = f (x_{0})$ . Si $x_{0} \in / I$ , elle signifie que $f$ se prolonge par continuité en $x_{0}$ , en posant $f (x_{0}) = ℓ$ . Continuité et limite ne sont pas deux notions distinctes.

◆Théorème 5.2Unicité, opérations, ordre, encadrement

La limite, si elle existe, est unique. Sommes, produits et quotients (à dénominateur de limite non nulle) se comportent comme attendu. Le passage à la limite conserve $\leq$ . Si $g \leq f \leq h$ au voisinage de $x_{0}$ et si $g$ et $h$ tendent vers $ℓ$ , alors $f \to ℓ$ .

◆Théorème 5.3Composition, et image d'une suite

Si $f \to ℓ$ en $x_{0}$ et $g \to L$ en $ℓ$ , alors $g \circ f \to L$ en $x_{0}$ . Si de plus $(u_{n})$ est une suite d'éléments de $I$ tendant vers $x_{0}$ , alors $(f (u_{n}))$ tend vers $ℓ$ .

AttentionUn sens seulement

Ce dernier énoncé va de la fonction vers la suite. La réciproque — la caractérisation séquentielle, qui déduirait la limite de $f$ du comportement de toutes les suites — n'est pas au programme.

5.2 Fonctions de référence

Définition 5.4Le corpus

Les fonctions de référence sont : $exp$ , $ln$ , les puissances $x \mapsto x^{α}$ , les fonctions trigonométriques $cos$ , $sin$ , $tan$ , $arctan$ , la valeur absolue et la partie entière.

Proposition 5.5Les seules formules trigonométriques exigibles

Pour tous réels $a, b$ :

$cos^{2} x + sin^{2} x = 1,$

$cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b, sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b .$

Aucune autre n'est exigible : les formules de produit se retrouvent en exercice à partir de celles-ci.

◆Théorème 5.6Croissances comparées

Pour $a > 0$ , $b > 0$ :

$x \to + \infty lim \frac{( ln x ) ^{b}}{x ^{a}} = 0, x \to 0^{+} lim x^{a} ∣ ln x ∣^{b} = 0, x \to + \infty lim x^{a} e^{- x} = 0.$

En bref : $ln ≪$ puissances $≪ exp$ au voisinage de $+ \infty$ .

Exercices du chapitre

Deux limites trigonométriques corrigé
Un prolongement par continuité corrigé
Une forme indéterminée $1^{\infty}$ corrigé
Une bijection, et une valeur exacte corrigé
Tout trajet continu a un point fixe corrigé
Deux points distants d'un demi corrigé

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