Fonctions réelles d'une variable réelle

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 5 · prépa ECG, 1re année

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

Ce chapitre est le plus vaste du semestre : limites, continuité, dérivation, intégration. Le programme fixe un principe d'ensemble — on évitera la recherche d'hypothèses minimales, préférant des méthodes efficaces pour un ensemble assez large de fonctions usuelles. On ne cherche donc pas le théorème le plus général, mais celui qui sert.

AttentionLe cadre

On se limite aux fonctions définies sur un intervalle de $R$ .
Aucune démonstration n'est exigible.
La caractérisation séquentielle de la limite n'est pas au programme — on peut s'en servir dans un sens, pas la présenter comme critère.
Les fonctions trigonométriques sont ici des fonctions de référence, mais leur existence n'est pas un enjeu : on les interprète sur le cercle, et seules $cos^{2} + sin^{2} = 1$ et les formules d'addition sont exigibles.

5.1 Limite et continuité en un point

Définition 5.1Limite en un point

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ , $x_{0}$ un réel de $I$ ou une extrémité de $I$ , et $ℓ \in R$ . On dit que $f$ admet $ℓ$ pour limite en $x_{0}$ si

$\forall ε > 0, \exists α > 0, \forall x \in I \cap [x_{0} - α, x_{0} + α], ∣ f (x) - ℓ ∣ \leq ε .$

ImportantUne seule définition, trois lectures

Si $x_{0} \in I$ , cette propriété signifie que $f$ est continue en $x_{0}$ , et alors $ℓ = f (x_{0})$ . Si $x_{0} \in / I$ , elle signifie que $f$ se prolonge par continuité en $x_{0}$ , en posant $f (x_{0}) = ℓ$ . Continuité et limite ne sont pas deux notions distinctes.

◆Théorème 5.2Unicité, opérations, ordre, encadrement

La limite, si elle existe, est unique. Sommes, produits et quotients (à dénominateur de limite non nulle) se comportent comme attendu. Le passage à la limite conserve $\leq$ . Si $g \leq f \leq h$ au voisinage de $x_{0}$ et si $g$ et $h$ tendent vers $ℓ$ , alors $f \to ℓ$ .

◆Théorème 5.3Composition, et image d'une suite

Si $f \to ℓ$ en $x_{0}$ et $g \to L$ en $ℓ$ , alors $g \circ f \to L$ en $x_{0}$ . Si de plus $(u_{n})$ est une suite d'éléments de $I$ tendant vers $x_{0}$ , alors $(f (u_{n}))$ tend vers $ℓ$ .

AttentionUn sens seulement

Ce dernier énoncé va de la fonction vers la suite. La réciproque — la caractérisation séquentielle, qui déduirait la limite de $f$ du comportement de toutes les suites — n'est pas au programme.

5.2 Fonctions de référence

Définition 5.4Le corpus

Les fonctions de référence sont : $exp$ , $ln$ , les puissances $x \mapsto x^{α}$ , les fonctions trigonométriques $cos$ , $sin$ , $tan$ , $arctan$ , la valeur absolue et la partie entière.

Proposition 5.5Les seules formules trigonométriques exigibles

Pour tous réels $a, b$ :

$cos^{2} x + sin^{2} x = 1,$

$cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b, sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b .$

Aucune autre n'est exigible : les formules de produit se retrouvent en exercice à partir de celles-ci.

◆Théorème 5.6Croissances comparées

Pour $a > 0$ , $b > 0$ :

$x \to + \infty lim \frac{( ln x ) ^{b}}{x ^{a}} = 0, x \to 0^{+} lim x^{a} ∣ ln x ∣^{b} = 0, x \to + \infty lim x^{a} e^{- x} = 0.$

En bref : $ln ≪$ puissances $≪ exp$ au voisinage de $+ \infty$ .

5.3 Étude globale sur un intervalle

Définition 5.7Vocabulaire

$f$ est paire si $f (- x) = f (x)$ , impaire si $f (- x) = - f (x)$ , périodique de période $T$ si $f (x + T) = f (x)$ ; majorée, minorée, bornée ; croissante si $x \leq y \Rightarrow f (x) \leq f (y)$ , strictement si l'inégalité de droite est stricte pour $x < y$ .

iRemarqueRéduire le domaine d'étude

Une fonction paire ou impaire s'étudie sur la moitié du domaine, une fonction périodique sur une seule période. Ce n'est pas un gain de temps accessoire : c'est souvent ce qui rend l'étude faisable.

◆Théorème 5.8Limite monotone pour les fonctions

Toute fonction monotone sur $] a, b [$ admet en tout point de $] a, b [$ une limite finie à gauche et à droite, ainsi qu'une limite en $a$ et en $b$ — finie ou infinie.

◆Théorème 5.9Valeurs intermédiaires

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ . Pour tout $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe $c \in [a, b]$ tel que $f (c) = k$ .

◆Théorème 5.10Image d'un intervalle, d'un segment

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L'image d'un segment $[a, b]$ est un segment : $f$ y est bornée et atteint ses bornes, notées $max_{[a, b]} f$ et $min_{[a, b]} f$ .

AttentionSegment, pas intervalle ouvert

Sur $] 0, 1]$ , $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue mais non majorée. La conclusion « bornée et atteint ses bornes » exige un intervalle fermé et borné.

◆Théorème 5.11Théorème de la bijection

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $f (I)$ , sa réciproque $f^{- 1}$ est continue sur $f (I)$ et a le même sens de variation. Les courbes de $f$ et $f^{- 1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ .

Python : Dichotomie


def dichotomie(f, a, b, eps):
    while b - a > eps:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a + b) / 2

# 0.68232780382...
print(dichotomie(lambda x: x**3 + x - 1, 0, 1, 1e-12))

Le théorème donne l'existence ; la dichotomie donne la valeur. Chaque tour divise l'intervalle par deux : $(b - a) / 2^{n} \leq ε$ demande une trentaine de tours pour $ε = 1 0^{- 10}$ sur $[0, 1]$ .

5.4 Dérivation

Définition 5.12Dérivée, dérivées à gauche et à droite

$f$ est dérivable en $x$ si $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ admet une limite finie $f^{'} (x)$ quand $h \to 0$ . On définit de même $f_{g}^{'} (x)$ et $f_{d}^{'} (x)$ en faisant tendre $h$ vers $0$ par valeurs négatives ou positives : $f$ est dérivable en $x$ si et seulement si ces deux dérivées existent et sont égales.

Proposition 5.13Opérations, réciproque

$(λ u + μv)^{'} = λ u^{'} + μ v^{'}$ , $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , $(v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u)$ . Et si $f$ est bijective, dérivable en $x$ avec $f^{'} (x) \neq = 0$ , alors $f^{- 1}$ est dérivable en $y = f (x)$ et

$(f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y ) )} .$

iRemarqueLa dérivée de la réciproque, vue sur le dessin

Les deux courbes étant symétriques par rapport à $y = x$ , leurs tangentes en deux points correspondants le sont aussi : une pente $p$ devient une pente $\frac{1}{p}$ . La formule ne fait que traduire cette symétrie — et explique l'hypothèse $f^{'} (x) \neq = 0$ , une tangente horizontale devenant verticale.

◆Théorème 5.14Théorème de Rolle

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ , telle que $f (a) = f (b)$ . Alors il existe $c \in] a, b [$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

◆Théorème 5.15Égalité des accroissements finis

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $] a, b [$ . Il existe $c \in] a, b [$ tel que

$f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a) .$

◆Théorème 5.16Inégalité des accroissements finis

Si $∣ f^{'} ∣ \leq k$ sur un intervalle $I$ , alors

$\forall (a, b) \in I^{2}, ∣ f (b) - f (a) ∣ \leq k ∣ b - a ∣.$

ImportantL'usage : les suites récurrentes

Si $ℓ$ est point fixe de $f$ et $∣ f^{'} ∣ \leq k < 1$ au voisinage de $ℓ$ , alors $∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ = ∣ f (u_{n}) - f (ℓ) ∣ \leq k ∣ u_{n} - ℓ ∣$ , d'où $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣ \to 0$ . La suite converge, d'autant plus vite que $k$ est petit. Tout exposé théorique sur les suites récurrentes générales est exclu : on procède sur des exemples.

◆Théorème 5.17Signe de la dérivée

$f^{'} = 0$ sur un intervalle $⟺$ $f$ constante ; $f^{'} \geq 0$ $⟺$ $f$ croissante. Si $f^{'} \geq 0$ et si $f^{'}$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points, alors $f$ est strictement croissante.

◆Théorème 5.18Prolongement de la dérivée

Soit $f$ continue sur $I$ , de classe $C^{1}$ sur $I ∖ {a}$ . Si $f^{'} (x)$ admet une limite finie $ℓ$ quand $x \to a$ , alors $f$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ tout entier et $f^{'} (a) = ℓ$ .

iRemarqueCe que ce théorème évite

Sans lui, établir la dérivabilité en un point de raccord exigerait de calculer le taux d'accroissement — souvent pénible. Il suffit de vérifier que la dérivée a une limite : le raccord se fait alors tout seul.

5.5 Intégration sur un segment

AttentionHors programme

La construction de l'intégrale de Riemann n'est pas au programme. On définit l'intégrale d'une fonction positive comme l'aire sous la courbe, et l'on généralise aux fonctions de signe quelconque sans soulever de difficulté.

Définition 5.19Sommes de Riemann

Pour $f$ continue sur $[a, b]$ , les sommes de Riemann sont

$S_{n} = \frac{b - a}{n} k = 0 \sum n - 1 f (a + k \frac{b - a}{n}),$

et $S_{n} \to \int_{a}^{b} f (t) d t$ .

iRemarqueCe qui est démontré

La convergence des sommes de Riemann n'est démontrée que dans le cas d'une fonction de classe $C^{1}$ . C'est suffisant pour tout ce qu'on en fera : reconnaître une somme de Riemann permet de calculer la limite de sommes que rien d'autre ne saurait atteindre.

Proposition 5.20Propriétés

Linéarité ; relation de Chasles $\int_{a}^{b} = \int_{a}^{c} + \int_{c}^{b}$ ; positivité et croissance. Si $f$ est continue, positive sur $[a, b]$ et d'intégrale nulle, alors $f$ est identiquement nulle. Enfin, pour $a \leq b$ :

$\int_{a}^{b} f (t) d t \leq \int_{a}^{b} ∣ f (t) ∣ d t .$

◆Théorème 5.21Primitives, résultat admis

Si $f$ est continue sur $I$ , la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est une primitive de $f$ sur $I$ . Pour toute primitive $F$ de $f$ :

$\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a) .$

◆Théorème 5.22Intégration par parties, changement de variable

Pour $u, v$ de classe $C^{1}$ sur $[a, b]$ :

$\int_{a}^{b} u^{'} v = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u v^{'} .$

Et pour $φ$ de classe $C^{1}$ strictement monotone : $\int_{φ (α)}^{φ (β)} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t$ .

AttentionLes changements de variable sont indiqués

Le programme précise que les changements de variable non affines doivent être indiqués dans l'énoncé. On ne cherche pas de substitution astucieuse par soi-même.

5.6 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

Limite : $\forall ε, \exists α$ . Si $x_{0} \in I$ c'est la continuité ; sinon c'est un prolongement. La caractérisation séquentielle n'est pas au programme.
Trigonométrie : seules $cos^{2} + sin^{2} = 1$ et les formules d'addition sont exigibles.
TVI ; image d'un segment $=$ segment ; théorème de la bijection : continue $+$ strictement monotone.
Rolle ; égalité des accroissements finis $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ ; inégalité $∣ f^{'} ∣ \leq k$ .
Dérivée de la réciproque : $(f^{- 1})^{'} (y) = 1/ f^{'} (f^{- 1} (y))$ .
Prolongement de la dérivée : si $f^{'}$ a une limite finie en $a$ , le raccord est $C^{1}$ .
Sommes de Riemann : $\frac{b - a}{n} \sum f (a + k \frac{b - a}{n}) \to \int_{a}^{b} f$ .
IPP et changement de variable ( $C^{1}$ strictement monotone, non affine indiqué dans l'énoncé).

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices