Suites de nombres réels

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 4 · prépa ECG, 1re année

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Ce chapitre familiarise dès le premier semestre avec les méthodes de l'analyse. Il commence par un point de vocabulaire sur $R$ lui-même — la notion de borne supérieure, qui n'existait pas au lycée et qui est la propriété profonde des réels — puis étudie les suites classiques et les grands théorèmes de convergence.

AttentionCe qui est admis

La construction de $R$ est hors programme, et le théorème de la borne supérieure est admis. On s'en sert, on ne le démontre pas.

4.1 Vocabulaire sur $R$

Définition 4.1Valeur absolue

$∣ x ∣ = x$ si $x \geq 0$ et $- x$ sinon. Elle mesure la distance de $x$ à $0$ , et $∣ x - a ∣$ celle de $x$ à $a$ . Pour tous réels $x, y$ :

$∣ x y ∣ = ∣ x ∣ ∣ y ∣, ∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣ (in e ˊ galit e ˊ triangulaire) .$

ImportantTraduire une valeur absolue

$∣ x - a ∣ \leq b$ signifie exactement $a - b \leq x \leq a + b$ : l'intervalle de centre $a$ et de rayon $b$ . C'est la manipulation la plus fréquente de toute l'analyse.

Définition 4.2Majorant, borne supérieure

Soit $A$ une partie non vide de $R$ .

$M$ est un majorant de $A$ si $x \leq M$ pour tout $x \in A$ ; $A$ est alors dite majorée.
Le maximum de $A$ , s'il existe, est un majorant appartenant à $A$ .
La borne supérieure de $A$ , notée $sup A$ , est le plus petit des majorants.

On définit de même minorant, minimum et borne inférieure $in f A$ .

◆Théorème 4.3Théorème de la borne supérieure, admis

Toute partie non vide et majorée de $R$ admet une borne supérieure. De même, toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.

iRemarqueCe que ce théorème dit vraiment

Il est faux dans $Q$ : l'ensemble des rationnels de carré inférieur à $2$ est non vide et majoré, mais n'a pas de borne supérieure rationnelle — elle vaudrait $2$ , qui n'est pas rationnel. Ce théorème est donc la propriété qui distingue $R$ de $Q$ : les réels n'ont pas de trous. C'est lui qui rendra vrai le théorème de la limite monotone.

Proposition 4.4Maximum et borne supérieure

Si $A$ admet un maximum, alors $max A = sup A$ . La réciproque est fausse : la borne supérieure peut ne pas appartenir à $A$ .

Définition 4.5Partie entière

La partie entière de $x$ , notée $⌊ x ⌋$ , est l'unique entier $n$ tel que $n \leq x < n + 1$ . Il en découle $x - 1 < ⌊ x ⌋ \leq x$ .

AttentionNe pas noter

E (x)

La notation $E$ est réservée à l'espérance mathématique. On écrit $⌊ x ⌋$ , jamais $E (x)$ .

4.2 Suites classiques

Définition 4.6Suite arithmético-géométrique

$(u_{n})$ est arithmético-géométrique s'il existe $a, b \in R$ tels que $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ .

ImportantLa méthode : le point fixe

Si $a \neq = 1$ , le point fixe est $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ , solution de $ℓ = a ℓ + b$ . En posant $v_{n} = u_{n} - ℓ$ :

$v_{n + 1} = a u_{n} + b - (a ℓ + b) = a (u_{n} - ℓ) = a v_{n},$

donc $(v_{n})$ est géométrique et $u_{n} = ℓ + (u_{0} - ℓ) a^{n}$ . Si $a = 1$ , la suite est arithmétique.

Le point fixe n'est pas un artifice de calcul : c'est la valeur d'équilibre, celle qui, une fois atteinte, ne bouge plus. La formule se lit alors d'elle-même — l'écart à l'équilibre est multiplié par $a$ à chaque étape — et le comportement se déduit du seul module de $a$ .

◆Théorème 4.7Récurrence linéaire d'ordre 2, racines réelles

Soit $(u_{n})$ vérifiant $u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ , et $r^{2} = a r + b$ son équation caractéristique, supposée à racines réelles.

Deux racines distinctes $r_{1} \neq = r_{2}$ : $u_{n} = λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}$ ;
racine double $r$ : $u_{n} = (λ + μ n) r^{n}$ .

$λ$ et $μ$ se déterminent par $u_{0}$ et $u_{1}$ .

D'où sort l'équation caractéristique ? On cherche s'il existe des suites géométriques $u_{n} = r^{n}$ solutions. En reportant, $r^{n + 2} = a r^{n + 1} + b r^{n}$ , et après division par $r^{n}$ : $r^{2} = a r + b$ . Les racines sont donc les raisons des solutions géométriques.

ImportantUne illustration de l'algèbre linéaire

L'ensemble des suites vérifiant $u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites : il contient la suite nulle et est stable par combinaison linéaire. Le théorème dit qu'il admet $((r_{1}^{n}), (r_{2}^{n}))$ pour base — deux suites libres et génératrices. Le programme signale explicitement cette occasion d'illustrer famille libre, génératrice et base sur un cas concret.

Exemple 4.8Fibonacci

$u_{0} = 0$ , $u_{1} = 1$ , $u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_{n}$ . L'équation $r^{2} = r + 1$ a pour racines $φ = \frac{1 + 5}{2}$ et $ψ = \frac{1 - 5}{2}$ , d'où $u_{n} = \frac{φ ^{n} - ψ ^{n}}{5}$ . Les $u_{n}$ sont des entiers, et la formule est bourrée de $5$ : les irrationnels s'annulent à chaque rang. Comme $∣ ψ ∣ < 1$ , le second terme s'efface, et $u_{n}$ est l'entier le plus proche de $φ^{n} / 5$ — une racine domine, l'autre disparaît.

4.3 Convergence

Définition 4.9Suite convergente

$(u_{n})$ converge vers $ℓ$ si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient les $u_{n}$ pour tous les indices, hormis un nombre fini. De façon quantifiée :

$\forall ε > 0, \exists n_{0} \in N, \forall n \geq n_{0}, ∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε .$

iRemarqueDeux formulations, un seul contenu

La seconde traduit la première : « tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ » devient « pour tout $ε$ », et « sauf un nombre fini d'indices » devient « à partir d'un rang $n_{0}$ ». Le programme demande de donner cette forme quantifiée, sans en faire un usage systématique — on ne démontrera pas chaque limite avec des $ε$ .

Le dessin dit ce que la définition exige — et ce qu'elle n'exige pas. Elle demande que la bande, si étroite soit-elle, finisse par contenir tous les termes ; elle ne demande ni régularité, ni que la suite reste d'un même côté. Un nombre fini de termes peut être n'importe où : modifier les mille premiers termes ne change ni la nature ni la limite.

◆Théorème 4.10Unicité, opérations, ordre

Une suite convergente a une unique limite. Si $u_{n} \to ℓ$ et $v_{n} \to ℓ^{'}$ , alors $u_{n} + v_{n} \to ℓ + ℓ^{'}$ , $u_{n} v_{n} \to ℓ ℓ^{'}$ , et $u_{n} / v_{n} \to ℓ / ℓ^{'}$ si $ℓ^{'} \neq = 0$ . Si $u_{n} \leq v_{n}$ pour tout $n$ , alors $ℓ \leq ℓ^{'}$ .

AttentionLe passage à la limite écrase le strict

$u_{n} < v_{n}$ pour tout $n$ ne donne que $ℓ \leq ℓ^{'}$ . Ainsi $\frac{1}{n + 1} > 0$ à tout rang, mais la limite vaut $0$ .

◆Théorème 4.11Encadrement

Si $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ à partir d'un rang et si $(v_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers le même $ℓ$ , alors $u_{n} \to ℓ$ .

◆Théorème 4.12Limite monotone

Toute suite croissante majorée converge, et sa limite est la borne supérieure de l'ensemble de ses valeurs. Toute suite décroissante minorée converge vers la borne inférieure de ses valeurs. Une suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ .

ImportantLe lien avec la borne supérieure

Ce théorème est le théorème de la borne supérieure, transporté aux suites : l'ensemble des valeurs est non vide et majoré, il a donc un $sup$ , et la croissance force la suite à s'en approcher. C'est pourquoi il fallait commencer ce chapitre par $R$ .

◆Théorème 4.13Adjacentes, pairs et impairs

Deux suites adjacentes — l'une croissante, l'autre décroissante, d'écart tendant vers $0$ — convergent vers la même limite. Si $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ convergent vers un même $ℓ$ , alors $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ .

Attention« Même limite » est essentiel

Pour $u_{n} = (- 1)^{n}$ , les deux sous-suites convergent — vers $1$ et vers $- 1$ . Les limites diffèrent, et $(u_{n})$ diverge.

4.4 Croissances comparées

◆Théorème 4.14Croissances comparées, admis

Pour $a > 0$ , $b > 0$ et $q > 1$ , quand $n \to + \infty$ :

$(ln n)^{b} ≪ n^{a} ≪ q^{n} ≪ n! .$

Autrement dit chacun des quotients $\frac{( l n n ) ^{b}}{n ^{a}}$ , $\frac{n ^{a}}{q ^{n}}$ et $\frac{q ^{n}}{n !}$ tend vers $0$ .

ImportantLa factorielle domine tout

C'est l'ajout par rapport au lycée : $n!$ l'emporte sur toute exponentielle. La raison est visible sur le quotient : $\frac{q ^{n + 1} / ( n + 1 )!}{q ^{n} / n !} = \frac{q}{n + 1}$ , qui devient inférieur à $\frac{1}{2}$ dès que $n > 2 q$ — à partir de là, le terme est divisé par plus de deux à chaque rang.

Python : Voir, conjecturer, et ne pas confondre avec une preuve


import math
for n in [5, 10, 20, 50]:
    print(n, 2**n / math.factorial(n))
# 0.2667  0.0002821  4.6e-15  ...  -> 0

Le quotient s'effondre : la factorielle écrase l'exponentielle. Mais un tableau de valeurs ne démontre rien — c'est le rapport $\frac{q}{n + 1}$ ci-dessus qui le prouve.

4.5 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

$∣ x - a ∣ \leq b ⟺ x \in [a - b, a + b]$ . Partie entière $⌊ x ⌋$ , jamais $E (x)$ .
Borne supérieure $=$ le plus petit des majorants. Le maximum, lui, doit appartenir à l'ensemble. Théorème de la borne supérieure (admis) : c'est ce qui distingue $R$ de $Q$ .
Arithmético-géométrique : point fixe $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ , puis $v_{n} = u_{n} - ℓ$ géométrique.
Ordre 2 : équation caractéristique $r^{2} = a r + b$ (racines réelles seulement) ; l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de base $((r_{1}^{n}), (r_{2}^{n}))$ .
Convergence : $\forall ε > 0, \exists n_{0}, \forall n \geq n_{0}, ∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ . Le passage à la limite conserve $\leq$ , pas $<$ .
Limite monotone : croissante majorée $\Rightarrow$ converge vers le $sup$ de ses valeurs — c'est le théorème de la borne supérieure transporté.
Croissances comparées : $(ln n)^{b} ≪ n^{a} ≪ q^{n} ≪ n!$ .

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