Suites de nombres réels
Cours · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 4 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Ce chapitre familiarise dès le premier semestre avec les méthodes de l'analyse. Il commence par un point de vocabulaire sur lui-même — la notion de borne supérieure, qui n'existait pas au lycée et qui est la propriété profonde des réels — puis étudie les suites classiques et les grands théorèmes de convergence.
La construction de est hors programme, et le théorème de la borne supérieure est admis. On s'en sert, on ne le démontre pas.
4.1 Vocabulaire sur
si et sinon. Elle mesure la distance de à , et celle de à . Pour tous réels :
signifie exactement : l'intervalle de centre et de rayon . C'est la manipulation la plus fréquente de toute l'analyse.
Soit une partie non vide de .
- est un majorant de si pour tout ; est alors dite majorée.
- Le maximum de , s'il existe, est un majorant appartenant à .
- La borne supérieure de , notée , est le plus petit des majorants.
On définit de même minorant, minimum et borne inférieure .
Toute partie non vide et majorée de admet une borne supérieure. De même, toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.
Il est faux dans : l'ensemble des rationnels de carré inférieur à est non vide et majoré, mais n'a pas de borne supérieure rationnelle — elle vaudrait , qui n'est pas rationnel. Ce théorème est donc la propriété qui distingue de : les réels n'ont pas de trous. C'est lui qui rendra vrai le théorème de la limite monotone.
Si admet un maximum, alors . La réciproque est fausse : la borne supérieure peut ne pas appartenir à .
La partie entière de , notée , est l'unique entier tel que . Il en découle .
La notation est réservée à l'espérance mathématique. On écrit , jamais .