Algèbre linéaire

Cours · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 3 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une application linéaire transforme un quadrillage en un quadrillage de parallélogrammes : les images de e1 et e2 suffisent à la décrire.

Ce chapitre met en place l'outil vectoriel dès le premier semestre. Il procède en trois temps, du plus concret au plus abstrait : d'abord les matrices, tableaux de nombres qu'on apprend à manipuler ; puis les systèmes linéaires, qu'elles permettent d'écrire d'un trait ; enfin les espaces vectoriels, dont on ne prend ici que le vocabulaire — le second semestre en fera la théorie.

AttentionLe cadre exact

Le programme se place sur $R$ uniquement. Les notions de corps, d'algèbre et de groupe sont hors programme, et tout développement théorique sur les systèmes l'est aussi. On ne considère que des familles finies.

3.1 Calcul matriciel

3.1.1 Matrices rectangulaires

Définition 3.1Matrice

Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients réels est un tableau $A = (a_{ij})$ avec $1 \leq i \leq n$ , $1 \leq j \leq p$ . Leur ensemble est noté $M_{n, p} (R)$ .

AttentionLigne d'abord

$a_{ij}$ est le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ . L'ordre est une convention, mais s'en écarter rend tout faux.

Définition 3.2Opérations

Pour $A, B \in M_{n, p} (R)$ et $λ \in R$ , la somme et le produit par un scalaire se font coefficient par coefficient : $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ et $(λ A)_{ij} = λ a_{ij}$ .

Définition 3.3Produit matriciel

Si $A \in M_{n, p} (R)$ et $B \in M_{p, q} (R)$ , alors $A B \in M_{n, q} (R)$ et

$(A B)_{ij} = k = 1 \sum p a_{ik} b_{k j} .$

Le produit n'est donc pas défini coefficient par coefficient, contrairement aux deux opérations précédentes : c'est ce qui en fait tout l'intérêt, et toute la difficulté. Le schéma des formats mérite d'être retenu tel quel — $(n, p) \times (p, q) \to (n, q)$ , l'indice intérieur disparaît.

iRemarqueLe produit, colonne par colonne

La $j$ -ème colonne de $A B$ est $A$ multipliée par la $j$ -ème colonne de $B$ . C'est la lecture la plus féconde : elle transforme un produit de tableaux en une famille de calculs indépendants, et donnera son sens géométrique au produit au second semestre.

AttentionTrois pièges du produit

Le produit matriciel n'est pas commutatif : $A B$ et $B A$ peuvent différer, avoir des formats différents, ou n'être définis que dans un sens. Un produit de matrices non nulles peut être nul : $(0010)^{2} = 0$ . Et $A B = A C$ n'entraîne pas $B = C$ .

Définition 3.4Transposée

La transposée de $A \in M_{n, p} (R)$ est $^{t} A \in M_{p, n} (R)$ définie par $(^{t} A)_{ij} = a_{j i}$ : lignes et colonnes échangent leurs rôles.

Proposition 3.5Transposition d'un produit

$^{t} (A + B) =^{t} A +^{t} B$ et, lorsque le produit est défini,

$^{t} (A B) =^{t} B^{t} A .$

Démonstration

$(^{t} (A B))_{ij} = (A B)_{j i} = \sum_{k} a_{j k} b_{k i} = \sum_{k} (^{t} B)_{ik} (^{t} A)_{k j} = (^{t} B^{t} A)_{ij}$ . L'ordre s'inverse — on le retrouvera pour l'inverse d'un produit, et pour la réciproque d'une composée.

Exercices du chapitre

Le produit n'est pas commutatif corrigé
Symétrique plus antisymétrique corrigé
Les puissances d'une triangulaire, par le binôme corrigé
Inversibilité selon un paramètre corrigé
Inverser en résolvant le système corrigé
Un polynôme annulateur donne l'inverse corrigé

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