Algèbre linéaire

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 3 · prépa ECG, 1re année

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Ce chapitre met en place l'outil vectoriel dès le premier semestre. Il procède en trois temps, du plus concret au plus abstrait : d'abord les matrices, tableaux de nombres qu'on apprend à manipuler ; puis les systèmes linéaires, qu'elles permettent d'écrire d'un trait ; enfin les espaces vectoriels, dont on ne prend ici que le vocabulaire — le second semestre en fera la théorie.

AttentionLe cadre exact

Le programme se place sur $R$ uniquement. Les notions de corps, d'algèbre et de groupe sont hors programme, et tout développement théorique sur les systèmes l'est aussi. On ne considère que des familles finies.

3.1 Calcul matriciel

3.1.1 Matrices rectangulaires

Définition 3.1Matrice

Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients réels est un tableau $A = (a_{ij})$ avec $1 \leq i \leq n$ , $1 \leq j \leq p$ . Leur ensemble est noté $M_{n, p} (R)$ .

AttentionLigne d'abord

$a_{ij}$ est le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ . L'ordre est une convention, mais s'en écarter rend tout faux.

Définition 3.2Opérations

Pour $A, B \in M_{n, p} (R)$ et $λ \in R$ , la somme et le produit par un scalaire se font coefficient par coefficient : $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ et $(λ A)_{ij} = λ a_{ij}$ .

Définition 3.3Produit matriciel

Si $A \in M_{n, p} (R)$ et $B \in M_{p, q} (R)$ , alors $A B \in M_{n, q} (R)$ et

$(A B)_{ij} = k = 1 \sum p a_{ik} b_{k j} .$

Le produit n'est donc pas défini coefficient par coefficient, contrairement aux deux opérations précédentes : c'est ce qui en fait tout l'intérêt, et toute la difficulté. Le schéma des formats mérite d'être retenu tel quel — $(n, p) \times (p, q) \to (n, q)$ , l'indice intérieur disparaît.

iRemarqueLe produit, colonne par colonne

La $j$ -ème colonne de $A B$ est $A$ multipliée par la $j$ -ème colonne de $B$ . C'est la lecture la plus féconde : elle transforme un produit de tableaux en une famille de calculs indépendants, et donnera son sens géométrique au produit au second semestre.

AttentionTrois pièges du produit

Le produit matriciel n'est pas commutatif : $A B$ et $B A$ peuvent différer, avoir des formats différents, ou n'être définis que dans un sens. Un produit de matrices non nulles peut être nul : $(0010)^{2} = 0$ . Et $A B = A C$ n'entraîne pas $B = C$ .

Définition 3.4Transposée

La transposée de $A \in M_{n, p} (R)$ est $^{t} A \in M_{p, n} (R)$ définie par $(^{t} A)_{ij} = a_{j i}$ : lignes et colonnes échangent leurs rôles.

Proposition 3.5Transposition d'un produit

$^{t} (A + B) =^{t} A +^{t} B$ et, lorsque le produit est défini,

$^{t} (A B) =^{t} B^{t} A .$

Démonstration

$(^{t} (A B))_{ij} = (A B)_{j i} = \sum_{k} a_{j k} b_{k i} = \sum_{k} (^{t} B)_{ik} (^{t} A)_{k j} = (^{t} B^{t} A)_{ij}$ . L'ordre s'inverse — on le retrouvera pour l'inverse d'un produit, et pour la réciproque d'une composée.

3.1.2 Matrices carrées

Définition 3.6Matrices remarquables

Soit $A \in M_{n} (R)$ . Elle est diagonale si $a_{ij} = 0$ pour $i \neq = j$ ; triangulaire supérieure si $a_{ij} = 0$ pour $i > j$ (inférieure si $a_{ij} = 0$ pour $i < j$ ) ; symétrique si $^{t} A = A$ ; antisymétrique si $^{t} A = - A$ .

iRemarqueLa diagonale d'une antisymétrique

Si $^{t} A = - A$ , alors $a_{ii} = - a_{ii}$ pour tout $i$ , donc $a_{ii} = 0$ : une matrice antisymétrique a nécessairement une diagonale nulle.

Définition 3.7Matrice inversible

$A \in M_{n} (R)$ est inversible s'il existe $B$ telle que $A B = B A = I_{n}$ . Cette $B$ est alors unique, notée $A^{- 1}$ .

ImportantUn seul côté suffit

Pour une matrice carrée, on admet qu'un inverse à gauche ou à droite est l'inverse : vérifier $A B = I_{n}$ dispense de vérifier $B A = I_{n}$ .

Proposition 3.8Inverse d'un produit, de la transposée

Si $A$ et $B$ sont inversibles :

$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}, (^{t} A)^{- 1} =^{t} (A^{- 1}) .$

Proposition 3.9Ordre 2

$A = (a c b d)$ est inversible si et seulement si $a d - b c \neq = 0$ , et alors

$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a) .$

Proposition 3.10Diagonale, triangulaire

Une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.

3.2 Systèmes linéaires

Définition 3.11Système linéaire, opérations élémentaires

Un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues s'écrit $A X = Y$ avec $A \in M_{n, p} (R)$ . On le résout par les opérations élémentaires sur les lignes, notées

$L_{j} \leftrightarrow L_{i}, L_{i} \leftarrow a L_{i} + b L_{j} (a \neq = 0, i \neq = j),$

qui ne changent pas l'ensemble des solutions.

◆Théorème 3.12Trois issues, pas davantage

Un système linéaire admet soit une unique solution, soit une infinité, soit aucune. Un système homogène — celui où $Y = 0$ — admet toujours la solution nulle : pour lui, il ne reste que deux issues, unique ou infinité.

ImportantInverser une matrice par un système

Pour calculer $A^{- 1}$ , on résout $A X = Y$ en exprimant $X$ en fonction de $Y$ . Si l'on aboutit à $X = B Y$ , alors $B = A^{- 1}$ . Si le pivot fait apparaître une ligne « $0 =$ combinaison des $y_{i}$ », c'est que $A$ n'est pas inversible.

Exemple 3.13Inverser une matrice d'ordre 3

Soit $A = (101110011)$ . Le système $A X = Y$ s'écrit $x + y = y_{1}$ , $y + z = y_{2}$ , $x + z = y_{3}$ . En additionnant les trois : $2 (x + y + z) = y_{1} + y_{2} + y_{3}$ . On en déduit $z = \frac{- y _{1} + y _{2} + y _{3}}{2}$ , puis $x$ et $y$ de la même façon :

$A^{- 1} = \frac{1}{2} 11 - 1 - 1 11 1 - 1 1 .$

3.3 Espaces vectoriels

Jusqu'ici, tout était tableau de nombres. On va maintenant reconnaître qu'un même jeu de règles gouverne des objets très différents : les colonnes, mais aussi les polynômes, les suites, les fonctions. C'est le point de vue vectoriel, et il ne coûte rien de plus que le vocabulaire — la théorie viendra au second semestre.

Définition 3.14Espace vectoriel sur

R

Un ensemble $E$ muni d'une addition et d'une multiplication par un réel est un espace vectoriel sur $R$ lorsque l'addition est associative, commutative, admet un élément neutre $0_{E}$ et des opposés, et que pour tous $λ, μ \in R$ et $u, v \in E$ :

$λ (u + v) = λ u + λ v, (λ + μ) u = λ u + μu, λ (μu) = (λ μ) u, 1 \cdot u = u .$

Exemple 3.15Cinq espaces vectoriels à connaître

$R^{n}$ ; $M_{n, p} (R)$ ; $R_{n} [x]$ et $R [x]$ ; l'ensemble des suites réelles ; l'ensemble des fonctions de $R$ dans $R$ . Dans chacun, on sait additionner deux éléments et multiplier par un réel — c'est tout ce qu'on demande.

Attention

R^{n}

M_{n, 1} (R)

ne sont pas le même objet

Le programme demande de les distinguer. Un élément de $R^{n}$ est un $n$ -uplet $(x_{1}, \dots, x_{n})$ ; un élément de $M_{n, 1} (R)$ est une matrice colonne. Ils se correspondent naturellement, mais l'un se multiplie par une matrice et l'autre non.

Définition 3.16Sous-espace vectoriel

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel si elle contient $0_{E}$ et si elle est stable par combinaison linéaire :

$\forall (u, v) \in F^{2}, \forall (λ, μ) \in R^{2}, λ u + μv \in F .$

ImportantLe réflexe

Pour montrer qu'une partie est un espace vectoriel, on ne vérifie jamais les huit axiomes : on montre que c'est un sous-espace d'un espace connu. Deux points suffisent — contenir $0$ , être stable par combinaison linéaire. L'oubli du premier est l'erreur la plus fréquente.

Exemple 3.17Deux parties de

R_{3} [x]

$F = {P \in R_{3} [x] ∣ P (1) = 0}$ contient le polynôme nul, et si $P (1) = Q (1) = 0$ alors $(λ P + μ Q) (1) = 0$ : c'est un sous-espace vectoriel. En revanche $G = {P ∣ P (1) = 1}$ ne contient pas $0$ : ce n'en est pas un.

Définition 3.18Combinaison linéaire, sous-espace engendré

Une combinaison linéaire de la famille finie $(u_{1}, \dots, u_{n})$ est un vecteur $λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{n} u_{n}$ . L'ensemble de ces combinaisons est le sous-espace engendré, noté $Vect (u_{1}, \dots, u_{n})$ — c'est le plus petit sous-espace vectoriel contenant la famille.

Définition 3.19Famille libre, génératrice, base

Soit $(u_{1}, \dots, u_{n})$ une famille finie de $E$ .

Elle est libre si $λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{n} u_{n} = 0$ entraîne $λ_{1} = \dots = λ_{n} = 0$ ;
elle est génératrice de $F$ si $Vect (u_{1}, \dots, u_{n}) = F$ ;
elle est une base de $F$ si elle est libre et génératrice — c'est-à-dire si tout vecteur de $F$ s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des $u_{i}$ .

Exemple 3.20Trois bases canoniques

$R^{n}$ a pour base canonique $(e_{1}, \dots, e_{n})$ , où $e_{i}$ a un $1$ en position $i$ ; $M_{n, 1} (R)$ a la base des colonnes correspondantes ; et $R_{n} [x]$ a pour base canonique $(1, x, x^{2}, \dots, x^{n})$ — un polynôme s'écrit d'une seule façon comme somme de monômes, ce qui est précisément l'unicité de la décomposition.

Définition 3.21Coordonnées dans une base

Si $B = (u_{1}, \dots, u_{n})$ est une base de $F$ et si $x = λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{n} u_{n}$ , la matrice colonne des coordonnées de $x$ dans $B$ est $^{t} (λ_{1}, \dots, λ_{n}) \in M_{n, 1} (R)$ .

Python : Résoudre, inverser, vérifier


import numpy as np

A = np.array([[1., 1., 0.],
              [0., 1., 1.],
              [1., 0., 1.]])
print(np.linalg.det(A))          # 2.0 : non nul, A est inversible
Ainv = np.linalg.inv(A)
print(Ainv)
print(np.allclose(A @ Ainv, np.eye(3)))    # True : le controle

La dernière ligne n'est pas décorative : allclose tolère l'erreur d'arrondi, là où == échouerait presque toujours. Sur des flottants, l'égalité exacte n'est pas le bon test.

3.4 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

Produit : $(n, p) \times (p, q) \to (n, q)$ ; non commutatif ; un produit de matrices non nulles peut être nul ; $A B = A C$ n'entraîne pas $B = C$ .
$^{t} (A B) =^{t} B^{t} A$ et $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ — l'ordre s'inverse dans les deux cas.
Antisymétrique $\Rightarrow$ diagonale nulle. Diagonale ou triangulaire inversible $⟺$ diagonale sans zéro. Ordre 2 : $a d - b c \neq = 0$ .
Systèmes : trois issues, deux seulement si le système est homogène. Inverser $A$ , c'est résoudre $A X = Y$ .
Espace vectoriel : $R^{n}$ , $M_{n, p} (R)$ , $R_{n} [x]$ , suites, fonctions. On distingue $R^{n}$ de $M_{n, 1} (R)$ .
Sous-espace : contient $0$ , stable par combinaison linéaire. On ne vérifie jamais les axiomes — on montre que c'est un sous-espace.
Base $=$ libre $+$ génératrice $=$ décomposition unique. Bases canoniques : $(e_{i})$ pour $R^{n}$ , $(1, x, \dots, x^{n})$ pour $R_{n} [x]$ .
Corps, algèbre, groupe : hors programme.

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